Re: [微積] 單點可微但不在鄰域內可微
※ 引述《yuyumagic424 (油油麻雞客)》之銘言：
: 我想構造一個函數,它在某個點可微,可是存在某鄰域,它的附近都不可微
: 或者, 無論怎樣的鄰域, 都會存在著不可微的點.
感覺可以試試 Dirichlet function 的變形
x^2 若 x in Q
f(x) = {
0 otherwise
則對於 h≠0
f(h) - 0 h 若 h in Q
-------- = {
h - 0 0 otherwise
無論對什麼 ε>0, 只要取 δ=ε 就有 |h|<δ => | (f(h)-0)/(h-0) | < ε.
另一方面, 對於任意有理數 a > 0, 對於任意 δ>0 以及無理數 a < a' < a+δ,
| f(a') - f(a) | a^2
| ------------ | = -------- > a^2/δ
| a' - a | |a'-a|
假如我們取 a' 跟 a 夠近, 那以上的式子就會被 a^2 的某個常數倍從下面 bound 住
因此它在有理數點(≠0)不可微.
無理數點類似, 不過改取 a' 為有理數
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希望沒弄錯...
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.137.20.185
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※ 編輯: suhorng (220.137.20.185), 04/12/2015 03:51:46
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我不是要找 ε=a^2/δ, 上面大概敘述不清楚
只要我找的 a' 滿足 a < a' < a + min{2,δ}
上面的不等式就變成了 |Δf/Δa| = a^2/|a-a'| > a^2/min{2,δ} > a^2/2
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※ 編輯: suhorng (220.137.20.185), 04/12/2015 04:09:19
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right, 其實只是簡單的把 x = 0 調到可微而已
處處連續只有單點可微不知能不能從處處連續處處不可微的函數調出來@@.....
※ 編輯: suhorng (140.112.16.135), 04/18/2015 17:05:09
討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 3 之 3 篇)：