Re: [微積] 值域
※ 引述《finaltry (finaltry)》之銘言：
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: (i) y=0 <=> x=3
:
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: (ii)y不等於0時(此時x不等於3),方程式為二次式
:
通常講定義域是誰，對應域是誰，好比f:[0,Pi]->R, f(x)=sinx
沒有人會寫說 0<=x<=Pi <=> 0<=y<=1
(因為你ii的最後就是想要證明這種東西，然後藉此說明：「噢，[0,1]就是他的值域！」
所以我才這樣跟你講)
這真的很怪。第一就符號邏輯學上來說，這樣寫很怪並且有誤。
第二就書寫上來說，因為你寫得不是很標準，會讓別人看不懂。
不過更重要的是，你這樣寫就是有錯。
舉剛才那個f為例。你想要證明它的值域是[0,1]，你想要證
0<=x<=Pi <=> 0<=y<=1
先幫你修正成比較標準的寫法, 是 Forall x, 0<=x<=Pi <=> 0<=f(x)<=1
(再提醒你一次，你整個ii就是要證明這件事對吧？)
這樣也還是有問題。問題在哪？你只能說明所有的x, 只要 0<=x<=Pi, 帶入f
應變數都會介於 0,1之間。
那搞不好他們全都送到同一個值啊。看不懂我的意思嗎？
比方說令 g:[0,Pi]->R, g(x)=0.5, 注意g是常數函數
「Forall x, 0<=x<=Pi → 0<=g(x)<=1」 是對的
「Forall x, 0<=x<=Pi ← 0<=g(x)<=1」 也是對的(看不懂多想幾分鐘)
所以「Forall x, 0<=x<=Pi <=> 0<=g(x)<=1」也是對的
今天為什麼我說你錯，因為你想要證明的就是
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: x屬於R且x不等於2且x不等於-1 (定義域)
:
: <=>y大於等於1 或y小於等於1/9 (值域) #
不是嗎？你處心積慮就是想要得到這個！
但很可惜，你得到的這個，proves nothing.
再一次幫你幫你改得正規一點，那句話也就是
Forall x, x in R\{2,-1} <=> f(x)>=1 or f(x)<=1/9
假如真的被你給證出來，上面那條是對的，我問你，你要怎麼告訴讀者
f的值域真的就是 >=1 或 <=1/9？
難道「Forall x, 0<=x<=Pi <=> 0<=g(x)<=1」，g的值域就是[0,1]?
結論：
1. 用你那種=> <=的寫法來證非常怪. 並且就像我上面點出來的，
就算你最後費了九牛二虎之力，證出了
Forall x, x in R\{2,-1} <=> f(x)>=1 or f(x)<=1/9
你也不能據此就說f的值域是 >=1 聯集 <= 1/9
2. 如果你不是很懂正規的邏輯的寫法，就別硬逼自己玩一堆=> <= <=>
我們當然知道你知道那個的來弄去脈，可是要怎麼「寫」出來，
並且邏輯正確的寫出來，顯得更重要。
今天如果你不用這些 =>, <=> 就算了，你用了，
就要按照數學界的規範走。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.248.79
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1408808940.A.FD5.html
※ 編輯: alfadick (114.44.248.79), 08/23/2014 23:56:54
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我查到的說法是說方便
譬如你是要送到實數呢？還是送到有理數呢？還是送到複數呢？
還是說要送到向量呢？(vector-valued function)
因為要確定一個函數的range是非常麻煩的事情，有些你根本無法人工得知range，
所以就不寫range, 寫codomain對應域就好，稍加描述一下那是怎麼樣一個函數。
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沒有這種解釋法，數學就是數學，邏輯就是邏輯，
就好像寫程式一樣，有標準規範。
※ 編輯: alfadick (114.44.248.79), 08/24/2014 00:30:57
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我這篇是based on finaltry大的證明, 為了指出他的錯誤而寫的,
他的寫法極其之怪，我當初也是看得很痛苦....
所以我按照他的證明脈絡打的這篇文章, 完全不適合單純想要知道怎麼解這題的看 XD
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你應該是在回yyc2008大XD。
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by the way,
我覺得引進量詞來證明, 表達力就很強了
finaltry 大的解法, 該用forall時沒有用forall,
該用there exists也沒用there exists, 該用集合來書寫也沒用集合
一切只用-> <-來寫, 寫起來變得頗亂.
不只難以閱讀, 並且還出現邏輯的錯誤. (我這篇點出來的那個)
※ 編輯: alfadick (114.44.248.79), 08/25/2014 06:40:09
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