[微積] 值域

看板Math作者 (finaltry)時間11年前 (2014/08/20 15:47), 11年前編輯推噓2(2推 0噓 14→)
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下面的解題過程中有疑問 請板友解惑 謝謝 題目:設y=(x-3)/(x^2-x-2) 試求值域? 解法: 第一步 定義域為 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 原式 y=(x-3)/(x^2-x-2) 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 <=>yx^2-yx-2y=x-3 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 <=>(y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 第二步 因為 x屬於R ^^^^^^^^^^^^^ =>判別式大於等於0 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ <=>(y+1)^2+4y(2y-3) 大於等於0 <=>y大於等於1 或y小於等於1/9 (即為值域) 困惑: 請問 由劃底線的地方 感覺好像不是充要條件 為什麼x不等於2 且x不等於-1 沒有用到 請問怎麼知道求出y的範圍即是所有可能的值(會不會裡面有不合的值) 懇請解答 謝謝:) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.231.120.180 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1408520826.A.F04.html
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08/20 18:03, , 1F
因為這是用y去求有可能的x，所以一定要有實根x，反
08/20 18:03, 1F
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08/20 18:05, , 2F
過來說，這些實根x必能得出我們所要的y值
08/20 18:05, 2F
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08/20 18:08, , 3F
如果你額外代進x=2或x=1會得出分子必須也是0，但這
08/20 18:08, 3F
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08/20 18:09, , 4F
則說明x=3…
08/20 18:09, 4F
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08/20 18:10, , 5F
呃…是x=-1不是x=1
08/20 18:10, 5F
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08/20 21:34, , 6F
不是很懂 能否請您進一步解釋?
08/20 21:34, 6F
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08/20 22:17, , 7F
我回一篇了
08/20 22:17, 7F
經過板友的解釋　我試著把解答重寫一次　有錯煩請指正：） : : 第一步 : : 定義域為 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 : : 原式 y=(x-3)/(x^2-x-2) 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 : : <=>yx^2-yx-2y=x-3 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 : : <=>(y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 其中 x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 第二步 (證明若且唯若) (i) y=0 <=>　x=3 (ii)y不等於0時(此時x不等於3),方程式為二次式 　 (=>) x屬於R 且 x不等於2 且x不等於-1 =>x屬於R : : 　=>判別式大於等於0 : : : : 　 =>(y+1)^2+4y(2y-3) 大於等於0 : : 　　　　　　　 =>y大於等於1 或y小於等於1/9 　　 (<=) 　 : : 　　　　　x 以 -1 代入時， 4=0，矛盾， y 無解 ---------(a) : 　　　　　x 以 2 代入時， 1=0，矛盾， y 無解　---------(a) : 　　　　　　　因此 　　　　　　　 　　　　　　　若y大於等於1或y小於等於1/9 且y不等於0 　　　　　　　=>(y+1)^2+4y(2y-3) 大於等於0 且x不等於2 且x不等於-1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 由(a)得知 　　　　　　　=>判別式大於等於0　且x不等於2 且x不等於-1 =>x屬於R　且x不等於2 且x不等於-1 　　　因此　x屬於R且x不等於2且x不等於-1且x不等於3 <=>y大於等於1 或y小於等於1/9 且y不等於0 (iii) 由(i)(ii) 取聯集得出 x屬於R且x不等於2且x不等於-1 (定義域) 　　　　<=>y大於等於1 或y小於等於1/9 (值域)　#　　　　　 ※ 編輯: finaltry (36.231.20.3), 08/22/2014 00:15:53
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08/22 00:16, , 8F
顏色有參雜請不要理他　因為我複製沒用好= =
08/22 00:16, 8F
推
08/22 00:44, , 9F
(i) y=0 <=> x=3 嗎？只有y=0 => x=3, 反過來不確定
08/22 00:44, 9F
下面我有補上算式
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08/22 00:45, , 10F
你再想想。
08/22 00:45, 10F
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08/22 00:45, , 11F
譬如某個雙未知數方程式x-y^2=0, y=3 時 x=9
08/22 00:45, 11F
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08/22 00:46, , 12F
反過來x=9時y一定等於3嗎？ :)
08/22 00:46, 12F
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08/22 00:46, , 13F
後面的我沒看, 你把前面這個想通更正再說
08/22 00:46, 13F
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08/23 10:52, , 14F
我看了很久 怎麼感覺是 <=> @@" 不知道我哪裡看錯
08/23 10:52, 14F
推
08/23 12:33, , 15F
那你要證明喔!
08/23 12:33, 15F
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08/23 12:34, , 16F
因為可以造出類似的方程式(長得高度相似), 不是如此
08/23 12:34, 16F
(i) y=0 <=> x=3 (=>) (y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 若y=0 => (0)x^2-(0+1)x+(-2*0+3)=0 => -x+3=0 =>x=3 (<=) (y)x^2-(y+1)x+(-2y+3)=0 若x=3 => (y)*3^2-(y+1)*3+(-2y+3)=0 =>9y-3(y+1)+(-2y+3)=0 =>4y=0 =>y=0 ※ 編輯: finaltry (36.231.20.3), 08/23/2014 13:15:55 ※ 編輯: finaltry (36.231.20.3), 08/23/2014 21:38:34 ※ 編輯: finaltry (36.231.20.3), 08/23/2014 21:39:35
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