Re: [中學] 三角形面積最大值
※ 引述《oxs77 (安)》之銘言：
: O為原點
: 點A在直線y=x上
: 點B在X軸正向上
: AB線段長為8
: 求三角形OAB的最大面積為何?
三角形OAB面積 = √2/4 d(O,A) d(O,B)
≦ √2/16 (d(O,A)+d(O,B))^2
等號成立 iff d(0,A) = d(O,B)
d(O,A) 和 d(O,B) 有兩個可能的夾角 π/4 和 3π/4
law of cosine (取 π/4 那個) 和 d(A,B) = 8
=> d(O,B)^2 = 64 + 32√2 = d(O,A)^2
所以面積最大值為 16(√2 + 1)
有錯請指教
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.46.202.90
※ 編輯: Eliphalet 來自: 114.46.202.90 (01/13 11:54)
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大概沒寫清楚的關係
用餘弦定理 64 = d(A,B)^2 = d(O,A)^2 + d(O,B)^2 - 2d(O,A)d(O,B) cos(∠BOA)
在 d(O,A) = d(O,B) 的前提下
64 = 2 d(O,B)^2 [1 - coscos(∠BOA)]
又 ∠BOA = π/4 或 3π/4
為了讓 d(O,B)最大 ∠BOA 取 π/4
因此 d(O,B)^2 = 64+32√2
※ 編輯: Eliphalet 來自: 114.46.202.90 (01/13 14:33)
推
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01/13 19:51, , 7F
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老實說我不是很懂你再說什麼?
我用到 AM-GM 不等式的部分
d(O,A)*d(O,B) ≦ [(d(O,A)+d(O,B))/2]^2
等號成立時 iff d(O,A) = d(O,B)
因為面積 √2/4 d(O,A)*d(O,B) 要讓面積最大只有讓 d(O,A) = d(O,B)
接下來才是用餘弦去解出 d(O,B)(或 d(O,A))
※ 編輯: Eliphalet 來自: 114.46.202.90 (01/13 20:16)
推
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01/13 20:30, , 15F
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嗯嗯 搞錯了 你是對的
應該透過 餘弦 再 AM-GM 得到 d(O,B)* d(O,A)) 的上界
謝謝你喔
※ 編輯: Eliphalet 來自: 114.46.202.90 (01/13 20:41)
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01/02 15:39,
7年前
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07/07 11:47,
6年前
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