[微積] 證明
設f為定義於R的實值函數 , 且f在至少一點x_0 屬於 R ,
使得f在點x=x_0連續 , 對於任意兩實數x與y 屬於 R ,
滿足f(x+y)=f(x)+f(y) , 試證將存在一常數k ,
使得f(x)=kx , for all x屬於R
我的方法:
f(x)=f(0+x)=f(0)+f(x) => f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 => f(-x)=-f(x)
根據均值定理
存在c 屬於 [x,y] such that
f(x)-f(y)
--------- = f'(c) =k
x-y
又
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y)
f(x)-f(y) f(x-y)
=> --------- = ---------- =k
x-y x-y
=>f(x-y)=k(x-y)
因x,y屬於R,
所以x-y 屬於R
但是總覺得怪怪的
因為題目好像也沒說可以微分
請問我的證明有那裡可以改進的?
或是從頭開始都是錯的?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.253.14.34
推
11/25 15:20, , 1F
11/25 15:20, 1F
→
11/25 15:20, , 2F
11/25 15:20, 2F
→
11/25 15:29, , 3F
11/25 15:29, 3F
→
11/25 17:11, , 4F
11/25 17:11, 4F
→
11/25 17:12, , 5F
11/25 17:12, 5F
→
11/25 17:26, , 6F
11/25 17:26, 6F
→
11/25 17:39, , 7F
11/25 17:39, 7F
→
11/25 18:29, , 8F
11/25 18:29, 8F
※ 編輯: nobrother 來自: 111.253.14.34 (11/25 18:30)
推
11/25 21:25, , 9F
11/25 21:25, 9F
推
11/25 21:27, , 10F
11/25 21:27, 10F
推
11/25 21:31, , 11F
11/25 21:31, 11F
→
01/02 15:36,
7年前
, 12F
01/02 15:36, 12F
→
07/07 11:40,
6年前
, 13F
07/07 11:40, 13F
討論串 (同標題文章)
