Re: [微積] 斂散性
應該可以看成無窮等比級數
a = exp(-€), € > 0
∞ ∞ n ∞ n a exp(-n^€)
Σexp(-n^€) = Σ [exp(-€)] = Σ a = ------- = -------------
n=1 n=1 n=1 1 - a 1-exp(-n^€)
(€ > 0 => a = exp(-€) < 1)
所以收斂
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11/21 01:35,
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11/21 02:05,
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不過後來發現若 € > 1
n^€ > n€
=> €ln n > ln n + ln €
=> ln n > ln € / (€-1)
1/(€-1)
=> n > €
1/(€-1)
則若n > € => exp(-n^€) < exp(-n€)
1/(€-1)
k = [€ ], [x] is the smallest integer greater than and equal to x
∞ ∞ exp(-k€)
=> Σexp(-n^€) < Σ exp(-n€) = -----------------
n=k n=k 1 - exp(-€)
=> Σexp(-n^€) 收斂 if € > 1
不過我還沒想出 0 < € < 1 時, 有沒有可用初微就解出來的方法
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硬要用積分審歛可解 只是比較麻煩
考慮積分 Int (1,Infinity) exp(-x^c)dx
令c = 1/k
令 x^c = y
則y^k = x
dx = k y^(k-1) dy
因此可變為積分
k Int (1, Infinity) y^(k-1) exp(-y)dy
一直分部積分 可以看出這個積分收斂 c大於0都沒問題
(就會變出gamma function...)
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