Re: [微積] 斂散性
※ 引述《jimmy86204 (小廖)》之銘言：
: ∞
: Prove or disprove that series Σ exp(-n^€) for all €>0
: is convergent n=1
: 我算是發散 可是我用的方法好像不太好
: 令An=exp(-n^€) for all €>0
: take €=1/n
: lim An = 1/e =\= 0 所以該級數發散
: n>00
: 問題在於1.€不能取一個不定值(題目沒說 但是他應該是一個固定常數)
: 但我想表達的只是當我選取一個很小的€時 An是不會趨近於0的
: 不知道這方法可不可以
: 2.很多人都算收斂 講義附的答案是用積分審斂法 但他得到最後的答案是
: 1/€ 這樣€趨近於0時 此積分值不就也變無限大 也變成發散
: (p.s 這本講義答案錯誤有點多 所以我只參考 又想不通 所以來問大家)
: 問過同學跟助教都無法得到很確切的答案..這是去年中央的考古題
: 有人可以幫忙解答嗎QQ
應該可以看成無窮等比級數
a = exp(-€), € > 0
∞ ∞ n ∞ n a exp(-n^€)
Σexp(-n^€) = Σ [exp(-€)] = Σ a = ------- = -------------
n=1 n=1 n=1 1 - a 1-exp(-n^€)
(€ > 0 => a = exp(-€) < 1)
所以收斂
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.231.68.81
→
11/21 01:35, , 1F
11/21 01:35, 1F
→
11/21 02:05, , 2F
11/21 02:05, 2F
不過後來發現若 € > 1
n^€ > n€
=> €ln n > ln n + ln €
=> ln n > ln € / (€-1)
1/(€-1)
=> n > €
1/(€-1)
則若n > € => exp(-n^€) < exp(-n€)
1/(€-1)
k = [€ ], [x] is the smallest integer greater than and equal to x
∞ ∞ exp(-k€)
=> Σexp(-n^€) < Σ exp(-n€) = -----------------
n=k n=k 1 - exp(-€)
=> Σexp(-n^€) 收斂 if € > 1
不過我還沒想出 0 < € < 1 時, 有沒有可用初微就解出來的方法
※ 編輯: yueayase 來自: 61.231.68.81 (11/21 02:26)
→
11/21 09:37, , 3F
11/21 09:37, 3F
討論串 (同標題文章)