Re: [中學] n^3 < 3^n 對自然數n大於等於4恆成立
證明 n^(n+1) > (n+1)^n for all n 屬於自然數，n大於等於3
pf:使用數學歸納法.
當 n=3 時, 3^4 > 4^3.
假設 n=k 時，原式成立，即 k^(k+1) > (k+1)^k 成立
k
<=> k*(-----)^k > 1 成立
k+1
則當 n=k+1 時，欲證 (k+1)^(k+2) > (k+2)^(k+1)
(k+1)^2 k+1
<=> ------- x (-----)^k > 1
(k+2) k+2
(k+1)^2 k+1 (k+1)^2 1
因為 ------- x (-----)^k = ------- x (1 - -----)^k
(k+2) k+2 (k+2) k+2
(k+1)^2 1
> ------- x (1 - -----)^k
(k+2) k+1
k^2+2*k+1 k
= --------- x (-----)^k
k+2 k+1
k^2+2*k k
> --------- x (-----)^k
k+2 k+1
k*(k+2) k
= --------- x (-----)^k
k+2 k+1
k
= k*(-----)^k > 1 by數學歸納假設。
k+1
所以由數學歸納法知，原式成立。
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03/10 19:06, , 1F
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