Re: [其他] 極限-根號型函數求解題方式

看板Math作者pigheadthree (爬山)時間12年前 (2013/02/27 08:55)推噓2(2推 0噓 17→)

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※ 引述《suhorng ( )》之銘言： : ※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言： : 這是l'Hospital : : 極限值的羅必達微分方式不是如此解法，而是如以下解法： : : f'(x)=lim [f(x)-f(a)]/(x-a) : : x->a : 這是微分的定義 : : 基本上，有極限值的微分公式與一般函數的微分公式，我一開始也是搞混。 : : 一般微分方式，假設 f(x) = g(x)/h(x) : : f'(x) = [g'(x)*h(x)-h'(x)*g(x)]/[h(x)]^(2) : 這是微分的定義導出來的 quotient rule : 這些都是基本定義、和課本的定理敘述　翻課本比較清楚 : - : 微分的定義：設 f 定義在 (a-δ, a+δ) 上 : 則我們說 f 在 a 可微分, 如果這個極限存在： : f(x) - f(a) : lim ------------- : x→a x - a : 並定義 f'(a) 為以上極限的值 : 設 f 在 (a,b) 上可微分　　則我們說 f 在 (a,b) 的導函數 f'(x) 定義為 : f(x+h) - f(x) : f'(x) = lim --------------- : h→0 h : - : f'(x)g(x) - f(x)g'(x) : 若 f, g 可微, 運用以上定義, 我們可導出 [f(x)/g(x)]' = ----------------------- : [g(x)]^2 : - : 羅必答的定理敘述： : (i) 設 f, g 在 (a, b) 上可微（我們並讓 f, g 在 [a,b] 上連續） : 若 lim f'(x)/g'(x) 存在(令 = L) 且 lim f(x) = lim g(x) = 0 : x→a+ x→a+ x→a+ : 則 lim f(x)/g(x) 存在且 = L : x→a+ : (ii)設 f, g 在 (a, b) 上可微（我們並讓 f, g 在 [a,b] 上連續） : 若 lim f'(x)/g'(x) 存在(令 = L) 且 |lim f(x)| = |lim g(x)| = ∞ : x→a+ x→a+ x→a+ : 則 lim f(x)/g(x) 存在且 = L : x→a+ : (噢還有個 g'(x) ≠ 0 之類的條件....) : 所以 m 大就是把他分子分母分別微分後求極限(因為那個極限存在所以分別微分那個 : 等號才會成立) : - : 建中學資有個： : 設 f, g 在一個包含 a 的開區間上可微、f(a) = g(a) = 0、f'(a)及g'(a)皆存在 : 而且 g'(a) ≠ 0, 則 : lim f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a) : x→a : 這個是對的，不過不是我們說的羅必達。條件不同，結論也不同。前輩的意思是說：當lim f(x) = L ---> f'(x) = lim [f(x)-f(a)]/(x-a) x->a x->a 這是極限微分的定義但是羅必達的極限微分定理卻是當lim f(x) = 0 ，lim g(x) = 0 ，lim f(x)/g(x) = 0/0 or ∞ x->a x->a 其 lim f'(a)/g'(a) x->a 是這樣子嗎？麻煩不吝嗇指正，謝謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.165.175.21

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