[代數] 集合論中實數與有理數的比較

看板Math作者 (若自礌)時間12年前 (2013/02/26 01:55), 編輯推噓11(11推 0噓 103→)
留言114則, 12人參與, 6年前最新討論串1/4 (看更多)
課堂上學到集合論中實數的無窮大於有理數的無窮 原因是它是無法排列的 不過我對證明方式有疑問 他的方法是： 如果實數可以排列，那將其表示成小數 a1=s11s12s13s14... a2=s21s22s23s24... a3=s31s32s33s34... a4=s41s42s43s44... . . . 那假如你認為你排完了 那我可以找到一個小數使得他的第一位不等於s11 第二位不等於s22 第三位不等於s33 以此類推 這樣就可以找到一個小數跟前面的都不一樣 就找到了反例，證明了假設是錯的，實數便不可排列 老師的說法是這樣的(老師並不是數學系，可能很不嚴謹) 可是我覺得很怪 這數列明明就是無窮的數列 假如你說我排出前10000個數，然後找到一個反例 可是你舉出來的數可能在我排列出來的第一億個 也就是你不管怎麼排列要找反例一定是有限項 可是找到的反例可能在後面啊 有沒有哪位大大可以指出我思路的盲點 或者老師的假設少加了哪些東西? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.66.77
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「排『完』」是說所有數字都排進去了，所以當然是
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無窮多個數字，怎麼可能只有10000個咧？
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怎麼能把無窮個排完?對我來說很怪@@
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總之用這方法找到的實數會跟a1不一樣，因為第一位
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不同；會跟a2不一樣，因為第二位不同...以此類推
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「偶數」也有無窮多個，你能排完嗎？
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可是現在要證明的是實數可不可以排列 他的假設又要
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推翻我不能把它排列這個事實 可是我沒有辦法理解
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他如何推翻 偶數當然排不完 但是它是可以排列出個有
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序的
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偶數可以排完啊...an=2n(n是奇數)或(2-2n)(n是偶數)
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問題點對我在於我認為在舉反例的時候 一定要是有限項
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那就是此處沒通了。其實"排完"就是已經知道全部的an
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嗯嗯大大你的意思跟我一樣 他可以排列出個有序的數列
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都是些什麼數字的意思。
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拿有理數來對照好了 有理數假如也是用大大的想法
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那將會找不到這個反例 那同理的為什麼實數就不能找
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找到這個反例呢?
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找不到這個反例 上面漏打一個字
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推
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1.有理數其實可以排完。2.用這方法去做有理數，找到
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的「反例」其實...一定是無理數。
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大大這個方法我贊同，不過我覺得我最無法接受的還是
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怎麼對無窮項舉反例...
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推
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意思就是無論怎麼排,總能找到某個實數是沒排進去的,
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我不知道怎麼比喻這感覺 也找不到反例 現在我想到最
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無窮多項，但是我們每次只看一個啊...
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最恰當的比喻方式就像 傅立葉分析時 每個函數都是
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所以實數比自然數"多"。
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可是加起來不一定連續的感覺...
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可以想想無理數定義:不屬於有理數的實數 這樣怎麼數?
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有理數可以用某種方式寫出 但無理數不行
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教授用的方法就好像是在找無理數的感覺
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我能明白這樣的想法 只是我的癥結點在於怎麼對無窮
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舉反例 這對我來說好像不是那麼直接是對的
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那對質數是無窮多個怎麼證明??
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我以前學的是先假設質數有限個 所以列出s1.s2...sn
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不太一樣吧 證明時是先假設他們是有限的 然後排序
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可是實數無限個 排序 這樣概念不同吧?
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然後令p=s1*s2*...*sn + 1使得跟s1.s2....sn都互質
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還有 35 則推文
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像 √2 寫成小數是永遠也寫不完的, 但確實可以寫出--
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意思是說: 不管你要求寫出幾位數, 理論上都可以寫出
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來, 雖然即使利用目前最高速的計算工具計算到機器報
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廢還沒辦法完成任務.
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又: 在令師所描述的建構的數字中, 各小數位的數字還
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要排除掉 0 與 9 (假設是用十進位表示). 這非很必要,
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只是避免建構出 0循環 與 9循環 的結果. 因為:
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例如 0.1999...(循環) 與 0.2000...(循環) 都是 1/5
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的無窮小數表示法.
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推
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有個數在有理數的名單之外
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在有限的時候 排出來的數是有限小數 實數中當然有
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可能排到有限小數啊 第一億個有可能是這有限小數
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而在無窮向當中要舉出這個反例 有無窮位小數沒錯
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但是如何證明你做的出來這個小數 搞不好你不管怎麼舉
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在我的排列當中都有
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我認為癥結點在 能不能證明 一定能夠在無窮項中舉出
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這個數?
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還是這個能夠用選擇公理說明可行?
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推
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這個證明比較像是反過來 你不管舉哪個排列
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我都能夠給你一個數不在你的排列裡面
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給你的這個數當然是要看過你的排列之後才會給你的
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我覺得我的問題在於給了我排列一定能找出那個數嗎?
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有限項一定找的到 可是無窮項不一定找的到吧
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推
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但是我給你的這個數是可以確定的 或者該說
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你要這個數的小數不管哪一位我都能給你
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對了 我說的是實數的狀況 給你的數當然也是實數
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所以才能造成矛盾
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對了 這能不能跟數學歸納法不能推到無窮一起類比
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第n項都可以推到第n+1項 可是卻不能說無窮大的時候
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一定對?
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推
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不適合類比的，這證明的核心是：說明那個數都不等於
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任何 s_k 的，這件事，並沒有跟歸納法有任何關係。
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嗯嗯，小數本來就沒有「小數點後第無限大位」，每一
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位都是一個一個的數字(0~9)，只要能知道每一位，就代
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我們知道這個數字了。
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這個證明比較像是反過來 https://muxiv.com
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那對質數是無窮多個怎麼 https://daxiv.com
09/17 15:22, 111F
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11/10 11:28, , 112F
找到這個反例呢? https://muxiv.com
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01/02 15:17, 7年前 , 113F
不太一樣吧 證明時是先 https://muxiv.com
01/02 15:17, 113F
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07/07 10:41, 6年前 , 114F
例如 0.1999.. https://noxiv.com
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