Re: [微積] 幾題微積分
※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言：
: 1. find y' if y=(x-1)^3/[(2x+3)*sqrt(1-2x)]
: 這一題我想問是直接對右邊那一串x的函數微分嗎?還是要用甚麼技巧呢?
: 做出來的答案很醜QQ
: 2. (1-x^(1/1))(1-x^(1/3)).....(1-x^(1/n))
: lim ---------------------------------------
: x->1 (1-x)^(n-1)
: 這一題我試過有理化可是沒甚麼用...
怎麼會沒用（雖然這好像不叫有理化XD）
1/m 1 - x
1-x = ──────────────
1/m 2/m (m-1)/m
1 + x + x +...+ x
注意分母部份的極限為 m
你每項都做 一下就出來了
如果照你那樣寫 令 n=2k-1 則分子會弄出(1-x)^k
分母有(1-x)^(2k-2)乘以一長串東西
所以
k≧3時極限是無窮大
k=2 時是 1/3
k=1 時是 0
: ∞ n!exp(n)
: 3. 求Σ--------- 的收斂區間,這一題他沒有給x-c 該如何找收斂區間呢?
: n=1 n^(n+p)
利用不等式
n+1/2 -n n+1/2 -n
√(2π) n e ≦ n! ≦ e n e
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
代進去做 integral test 馬上得到收斂區間為 p > 3/2
（至於不等式怎麼證 要另請高明了 不是數學系的應該沒幾個人會 XD）
不用這條不等式似乎做不出來
就算做 Raabe's test
http://mathworld.wolfram.com/RaabesTest.html
得到
lim n{exp[(n+p)ln(1+1/n)-1]-1} = p-1/2
n→∞
可以確定 p > 3/2 為收斂，但 p=3/2 時仍不能確定
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