Re: [線代] 一題證明
※ 引述《recorriendo (孟新)》之銘言：
: Let M be a subspace in R^n, y be a point in R^n.
: Suppose for all m in M, at least one coordinate of (y-m) is nonnegative.
: Show that there is m' in M such that all coordinates of (y-m') is nonnegative.
: 請問版上高手這題有沒有什麼簡單的證法???
題目加上dimM=n-1,(以下設n≧2,因為n=1結論顯然成立)
pf:
⊥
可把y表成 y=a+p,a其中屬於M ,p屬於M
令a=(a1,a2,a3,...,an)
接下來證a=y-p即為所求(也就是說a的每個座標均非負)
反證法:
若a的某個座標有負的(必有a≠(0,0,...,0))
因為dimM=n-1,所以
M={(x1,x2,...,xn)|a1x1+a2x2+...+anxn=0}
不妨設 a1<0
令b=(b1,b2,...,bn),其中
如果k>1且ak≧0,令bk=1
如果k>1且ak<0,令bk=0
b1=-(a2b2+a3b3+...+anbn)/a1≧0
顯然b屬於M
y-p-tb=a-tb 對夠大的t>0 可看出y-p-tb每項座標均為負!(矛盾)
所以
a的每個座標必非負!
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