Re: [微積] 兩題定積分的極限
※ 引述《ChocoRs (巧克先生)》之銘言:
: 2.
: 2x 2c
: 2t / e \ e
: lim ∫ |---| dx 我用積分均值定理=> lim -- * t = 0 ,c在(t,2t)
: t→0 t | x | t→0 c
: \ /
: ~
: 可是答案是ln 2 , 不知道問題出在哪
: 以上,麻煩大家咧~
Method 1.
設F(t) = 積分(a,t) e^2x / x dx, G(t) = 積分(a,2t) 1/x dx,a固定
則可算G(2t) - G(t) = ln 2
又由柯西均值定理,
[F(2t) - F(t)]/[G(2t)-G(t)] = F'(c)/G'(c), c在t, 2t之間
故c→0,F'(c)/G'(c) = e^2c →1, 所求= lim F(2t)-F(t) = 1‧ln 2 = ln 2
贊曰:此法類似前文的方法,都是和1/x的積分比較,只是改用相比。
缺點是預知要用1/x的積分比較。
Method 2.
以x=ty變數變換,則所求=lim 積分(1至2) exp ty/y dy=積分(1至2) 1/y dy = ln 2
(因為exp ty→1)
贊曰:非常直接,此法利用極限和積分的交換,而且是非常簡單的情形。
缺點是這種交換性的檢查仍超出一般微積分程度。
Method 3.
以 x=exp y (設t→0+, 0-時類似) 變數變換
則要考慮的積分即
積分(ln t至ln t + ln 2) exp (2exp y) dy
= ln 2‧exp (2 exp c),其中 ln t<c<ln t+ln 2 (積分均值定理)
故c→-無限大,所求 = ln 2‧exp (2‧0) = ln 2
贊曰:非常人工,
優點是終於讓屢屢失敗的積分均值定理扳回一城,也讓喜愛此定理的人不再失望。
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r=e^theta
即使有改變,我始終如一。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.85.43.216
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"dx" 也要變換耶
※ 編輯: LimSinE 來自: 219.84.57.148 (08/16 14:18)
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08/13 17:02, , 11F
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