Re: [中學] 多項方程式
※ 引述《sagrass (奶油蘇打)》之銘言：
: ※ 引述《armopen (考個沒完)》之銘言：
: : 令 f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x + 4
: : f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 3
: : 則 f'(x)/f(x) 的商式係數為 4-2+4+1-24+...
: : 由左至右分別是 a^n + b^n + c^n + d^n 在 n = 0, 1, 2, 3, 4, ... 的值.
: : 其證明就是將 f'(x)/f(x) 寫成 power series.
: 請問有網頁可以看嗎？
由於a,b,c,d是f(x)=0的四根，且f(x)的首項係數為1，令
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
取log後利用log的性質後得到:
log f(x) =log (x-a)+log(x-b)+log(x-c)+log(x-d)
兩邊對x微分，可以得
f'(x)/f(x)=1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c)+1/(x-d)
想辦法利用等比級數公式
a/(1-r) = a+ar+ar^2+....
所以我們把1/(x-a)變成 (1/x)/(1-{a/x}) = (1/x)+a (1/x)^2+ a^2 (1/x)^3+...
所以
f'(x)/f(x) = 4/x +(a+b+c+d)/x^2 +(a^2+b^2+c^2+d^2)/x^3 +(a^3+b^3+c^3+d^3)/x^4+..
所以a^n+b^n+c^n+d^n是f'(x)/f(x)在1/x^(n+1)時的係數。
不過這方法是不是最快的我就不知道了~~XD但這方法~~好像不太適合讓高中生學習。
因為缺乏了微積分的背景。
更一般的我們做以下的討論。
使用等比級數公式:
1-t+t^2+....+(-1)^nt^n+...=1/(1+t)
所以
1-at+a^2t^2+...+(-1)^na^nt^n+...=/1(1+at)
我們令f(t)=(1+x_1t)(1+x_2t)...(1+x_rt)，並考慮下列級數合
F(t)=Σ(-1)^(n-1)(x_1^n+...+x_r^n)t^(n-1), n≧1
利用等比級數可知
F(t)=x_1/(1+x_1t)+x_2/(1+x_2t)+...+x_r/(1+x_r t)
如果你知道微分log微分，d/dt log(1+x_it)=x_i/(1+x_i t)，那麼你知可以知道
F(t) = d/dt log f(t),=> f(t)= ∫F(t)dt
如果把f(t)作展開
f(t)=1+e_1(x_1,...,x_r)t+e_2(x_1,...,x_r)t^2+...+e_r(x_1,...,x_r)t^t
那麼e_1(x_1,...,x_r)=x_1+...+x_r, 更一般的得到:
e_k(x_1,...,x_r)=Σx_i1...x_ik, 1≦i1<...<ik≦r
得到所謂的基本對稱多項式。
如果令p_n(x_1,...,x_r)=x_1^n+...+x_r^n
那麼p_n與e_r之間就存在這某種遞回關係，這就是某篇文講的Newton formula。
事實上:
f(t)=exp(Σ(-1)^r p_r t^r/r, r≧1)或是 log f(t)=Σ(-1)^r p_r t^r/r, r≧1
利用log(1+z)的展開，我們可以推得(如果令z=e_1t+...+e_rt^r)
log (1+z)= z-z^2/2+...=Σ(-1)^(n-1) z^n/n, n≧1
比較t的係數，我們發現e_i是p_1,p_2,...,p_i的多項式，詳情我就不說了。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 193.51.104.23
推
07/31 23:11, , 1F
07/31 23:11, 1F
※ 編輯: herstein 來自: 193.51.104.23 (08/01 02:15)
討論串 (同標題文章)