Re: [幾何] prove Lagrange identity
※ 引述《a88241050 (再回頭已是百殘身)》之銘言：
: For vectors X,Y,V,W in R^3 , prove the Lagrange identity
: | X‧V X‧W |
: (X x Y) ‧(V x W) =| |
: | Y‧V Y‧W |
: 是直接令代數進去展開嗎?
如果只是要代數證明的話很容易，
不過這邊我想要講得比較幾何，讓你體會到這條等式成立的理由
稱等號左邊的值為 (L), 等號右邊的值為 (R)
記 E = span(V,W) = V,W 張成的平面
我們第一件可以做的事情是把跟 E 垂直的部份拿掉。
寫 X=X'+X^ , Y=Y'+Y^ , 其中 X',Y' 落在 E 上 , X^,Y^ 垂直平面 E
則 XxY = X'xY' + (something 垂直於 X^ 或 Y^)
= X'xY' + (something 落在 E 上)
故(L)變成 (XxY)‧(VxW) = (X'xY')‧(VxW)
(R)的第一項也跟著變 X‧V = (X'+X^)‧V = X'‧V , 其他三項皆同
所以我們可以假設 X,Y 落在 E 上
以 V,W 為 E 的基底，我們可以令二維矩陣 A 將 V 送到 X 且將 W 送到 Y
如果 X=aV+bW , Y=cV+dW 那矩陣 A 就是 [a c b d]
這麼一來 (L) 裡面的 XxY 就可以寫成 (detA)(VxW)
同時 (R) 變成 det( A x [VV,VW,WV,WW] = (detA)(det[VV,VW,WV,WW])
兩邊消去 detA 後
我們只要證明 |VxW|^2 = det[VV,VW,WV,WW]
↑
這條式子(X=V,Y=W)才是 Lagrange Identity 的原貌
(R)其實是科西不等式兩邊的差，然後恆等式告訴你這個差可以寫成
某個向量(VxW)的絕對值平方，所以是非負數，此即柯西不等式的由來。
至於證明很簡單，兩邊消去V,W的長度後就是 sin^2 = 1 - cos ^2
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