Re: [幾何] prove Lagrange identity
※ 引述《a88241050 (再回頭已是百殘身)》之銘言：
: For vectors X,Y,V,W in R^3 , prove the Lagrange identity
: | X‧V X‧W |
: (X x Y) ‧(V x W) =| |
: | Y‧V Y‧W |
: 是直接令代數進去展開嗎?
直接代分量進去是一種解法，滿痛苦的@@
純粹用向量符號：
(X x Y)‧(V x W)=X‧(Y x (V x W)) by A‧(B x C)= B‧(C x A)= C‧(A x B)
Y x (V x W)= V(Y‧W)-W(Y‧V) by BAC-CAB identity
X‧(Y x (V x W))=(X‧V)(Y‧W)-(X‧W)(Y‧V)
用張量符號：（這個例子沒有比較方便但或許其他場合有用@@）
(X x Y) ‧(V x W)=(X x Y)_i(V x W)_i=ε_ijk X_j Y_k ε_imn V_m W_n
=(δ_jmδ_kn-δ_jnδ_km)X_j Y_k V_m W_n
=(δ_jm X_j V_m)(δ_kn Y_k W_n)-(δ_jn X_j W_n)(δ_km Y_k V_m)
=(X‧V)(Y‧W)-(X‧W)(Y‧V)
(A‧B)=δ_ij A_i B_j=A_iB_i
(A x B)_i=ε_ijk A_j B_k
ε_ijk ε_imn = (δ_jmδ_kn-δ_jnδ_km)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.249.241
推
05/16 21:00, , 1F
05/16 21:00, 1F
δ_ij= 1 if i=j
0 if i=\=j
(Kronecker delta)
ε_ijk = 1 if ijk=123, 231, 312
-1 if ijk=132, 213, 321
0 otherwise
(Levi-Civita symbol)
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (05/16 21:05)
推
05/16 21:05, , 2F
05/16 21:05, 2F
啊啊我忘記講最重要的事情，如果足標有重複的表示要加起來
比如說A_i B_i=A_1 B_1+A_2 B_2+A_3 B_3
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (05/16 23:00)
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 3 之 7 篇)：