[線代] 台大99(A) 第五題

看板Math作者 (Jimmy)時間14年前 (2012/02/05 13:54), 編輯推噓4(4推 0噓 15→)
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Let A and B be two square matrices of degree n over a field. (a) Prove or disprove det [A B] =det(A+B)det(A-B) [A B] (b) Prove or disprove det [A B] =det(A^2-B^2) [B A] (a) 我找到反例了，我想要問(b)，我覺得(b)是對的，但不知道該如何下手。 謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.217.1
推
02/05 15:13, , 1F
[I -B; 0 A][A B; B A] = [A 0; B (A^2-B^2)]
02/05 15:13, 1F
→
02/05 15:13, , 2F
所以 det A != 0 的話就做出來了
02/05 15:13, 2F
→
02/05 15:15, , 3F
det A = 0 的話, 你可以: (i) 先考慮 k(x_{ij})
02/05 15:15, 3F
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02/05 15:18, , 4F
講錯, 考慮 k(x_{ij},y_{ij}), x_{ij} y_{ij} 是
02/05 15:18, 4F
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02/05 15:19, , 5F
未定元 令 A'= (x_ij), B'= (y_ij)
02/05 15:19, 5F
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02/05 15:19, , 6F
這樣一來 A' B' 都可逆, 因此你就証出
02/05 15:19, 6F
→
02/05 15:20, , 7F
det[A' B'; B' A'] = det(A'^2-B'^2)
02/05 15:20, 7F
→
02/05 15:21, , 8F
接下來再把 x_ij y_ij 代值成 A,B 的元
02/05 15:21, 8F
→
02/05 15:22, , 9F
(ii) 考慮 k(x), A-xI:=A', B-xI:=B', 同理可證
02/05 15:22, 9F
→
02/05 15:22, , 10F
det[A' B'; B' A'] = det(A'^2-B'^2)
02/05 15:22, 10F
→
02/05 15:23, , 11F
接下來再代值 x=0
02/05 15:23, 11F
→
02/05 15:53, , 12F
抱歉 我detA!=0乘出來和你的不一樣
02/05 15:53, 12F
→
02/05 16:00, , 13F
左下角是 -BA+AB
02/05 16:00, 13F
推
02/05 16:01, , 14F
sry, 我寫的是 column 而不是 row
02/05 16:01, 14F
→
02/05 16:02, , 15F
比如說第一個方陣 -B 在左下角
02/05 16:02, 15F
→
02/05 16:04, , 16F
恩恩我知道 可是這樣乘出來 左下還是 -BA+AB
02/05 16:04, 16F
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02/05 16:05, , 17F
-BA+AB不一定是0吧?!
02/05 16:05, 17F
推
02/05 16:05, , 18F
sry 我沒注意到交換的問題 如果這樣的話
02/05 16:05, 18F
推
02/05 16:08, , 19F
抱歉 我整個搞錯了
02/05 16:08, 19F
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文章代碼(AID): #1FBXbx-G (Math)
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