Re: [其他] 二項式定理與多項式

看板Math作者 (翔爸)時間14年前 (2011/12/19 22:21), 編輯推噓38(38推 0噓 225→)
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把上面幾位大大推文整理一下 假設R={0}是trivial ring，那麼多項式環R[x]={0}是一個trivial ring。 這個多項式環只具有0多項式。 如果要把0^0=1引進所有的代數裡面是不可能辦得到的，因為1根本就不存在在R 和R[x]中。trivial ring提供了一個很好為什麼，在代數學中，x^0=1只是一個 notation的例子。事實上，在R[x]這個多項式環中，每個多項式還是可以表示成 0+0x+0x^2+...+0x^n+... =0多項式by defn。 但這裡的0x^k並不是真的0*x^k，只是形式上這樣寫。但是，把R[x]看成R-module 的時候，0*x^k是係數積(實際上也只是把他看成第k+1座標為零)。 那麼如果把R[x]實際表示出來，他就是由0所組成的序列(0,0,0,0,.....,0,...)。 這很自然的構成一個環。 如果要在這多項式環的系統中引進1，是非常奇怪且不自然的，因為1根本就不存在。 yee:免費給你上點代數課 S是一個非空集合，f:S╳S-> S是一個函數。我們把f(a,b)記為a*b。 如果函數f滿足性質(稱為二元運算) (1)a*(b*c)=(a*b)*c就稱此f滿足結合律 (2)如果e是S中的元素，滿足e*a=a*e=a，就稱e是此運算的單位元素 (3)如果對任何的a都可以找到b，使得a*b=b*a=e，就稱b是a的在此運算的反元素。 集合S與滿足上述三個條件的f就稱為群。群是一個具有運算結構且滿足一些性質的 集合。如果這個乘法結構滿足:對任意S中的a,b恆有a*b=b*a，就稱S為(加法)交換群。 e通常也就被記為0，此時也會很習慣的把*記為+。 環呢?他是具有兩種二元運算的集合(R,*,+)。他具有加法交換群的結構， 而另外一個二元運算*就稱為乘法。而這兩個運算滿足的性質可以在 http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics) 看到。 在環R中，有加法與乘法兩種運算。x*...*x(n個)就記為x^n(如同上一篇) 加法x+...+x(n個就記為)nx。nx跟n*x並不一樣。n*x指的是把n視為R中的元素， 然後n*x是R中的乘法結構得出來的東西。此時的x是R中的元素並非變數。 如果e是R中的元素滿足a*e=e*a=a forall a，則我們稱e是R中的乘法單位元， 並且把e記為1。如果交換環是具有1的，n =實際上指的是n1(n個1相加)。 那麼n就存在在R中n*x當然就存在在R中。 lemma:當R是具有單位元素的環。則n*x=nx。x是R中的元素。 pf:用歸納法。 當n=1顯然，n=2時， 2*x =(1+1)*x = 1*x+1*x =(這個等號用到了乘法單位的性質)x+x =2x 假設n=k時 k*x = kx。那麼(k+1)*x =k*x+1*x =(這個等號用到了歸納法假設 與1*x=x)=kx+x=(這個等號用到了nx的定義:k個x與1個x相加就是)(k+1)x 於是n*x=nx對所有的n恆成立。 注意:在不具有單位元素的環中n*x是沒有意義的，其中n是整數，x是R中的元素。 即便是看起來顯然的東西，一點也不顯然。 然而nx只是notation，是n個x相加的notation。x^n是一個notation，n個x相乘的 notation。因為實數是具有1的交換環，所以在實數中n*x =nx是成立的。 但在一般不具有乘法單位元的環中，n*x是沒有意義的。 yee定理沒辦法被推廣到一般的代數結構上，如果你要說這是垃圾，那就是垃圾。 yee說得很對，數學就是需要完美。0^0=1無法推廣到所有的代數結構上，他就是不完美。 一個不完美的東西，憑甚麼讓數學家"通盤"定義0^0=1，還說這是我們的問題?問題就是 你的yee定理，yee axiom最大的毛病就是在於只能包含實數或複數域而已。 如果A^B是表示從A->B的函數個數，那麼0^0=1還有意思一點。 忘記講了二項式定理在不具有單位元素的交換環是成立的，換句話說， 二項式定理的證明沒有用到單位元素1，所以不要再說二項式定理需要1了。 Sigma的義義如同好幾篇前回的，只是一個記號，為了簡化和所規定的符號。 他並不是公式。Sigma_k=1^n 1/k只是表述 1+1/2+...+1/n的記號。 Σ_k=1^n ar^(k-1)= a(1-r^n)/(1-r) 這個包函了公式，公式的部分是 a+ar+...+ar^(n-1)=a(1-r^n)/(1-r)。 而Σ_k=1^n ar^(k-1)只是表示a+ar+...+ar^(n-1)和。真正有意義的部分 是在於a+ar+...+ar^(n-1)=a(1-r^n)/(1-r)。 例如Σ_k=1^∞ 1/k 是可以這麼寫，但是他沒有意義。因為這個級數和發散。 當我們引進sigma符號時，我們只是想表達出我們心中想的是求和。 真正有意義的還是必須把和算出來。而非符號本身是公式。 因此既然sigma只是符號，我們當然可以有約定俗成的方式來記他的符號。 例如積分符號∫f(x)dx他本身也只是符號，他表示的是f(x)的不定積分。 ∫f(x)dx =sinx +C表示的是(sin x+C)'=f(x)。所以∫只是符號。 很多時候∫f(x)dx是寫不出一個一個式子來的。∫跟sigma只是符號而已。 所以不要把符號使用跟公式搞混。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 195.37.209.180 ※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.180 (12/19 22:22)
推
12/19 22:42, , 1F
你覺得這真讚
12/19 22:42, 1F
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12/19 22:42, , 2F
話說我好想請東勇哥來發聲一下 他的回應一定會很有趣
12/19 22:42, 2F
推
12/19 22:47, , 3F
覺得你的文章「R: [其他]二項式定理與多項式」很讚。
12/19 22:47, 3F
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12/19 22:48, , 4F
我是東勇哥的弟子，當然要幫他出來讚聲一下。
12/19 22:48, 4F
推
12/19 22:48, , 5F
我覺得他一定看不懂，而且也不會想看，但是
12/19 22:48, 5F
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12/19 22:49, , 6F
數學系的學生，有學代數的，務必要看，
12/19 22:49, 6F
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12/19 22:49, , 7F
而且要看懂，確定真的了解每一個字的意思。
12/19 22:49, 7F
yes...我每次回文都是希望其他人能搞清楚，並不奢望yee能懂。
推
12/19 23:07, , 8F
推一下frank，不過yee先生看不懂吧
12/19 23:07, 8F
推
12/19 23:12, , 9F
不過，不知道這一棟會不會又變世界奇觀。
12/19 23:12, 9F
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12/19 23:41, , 10F
他可能又會說這些都是為了不定義0^0而定義出來的....
12/19 23:41, 10F
推
12/19 23:48, , 11F
會覺得一堆專家會為了排除一個鼻屎大的問題，蓋
12/19 23:48, 11F
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12/19 23:48, , 12F
出好幾棟101的人的想法也挺妙的。
12/19 23:48, 12F
※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.180 (12/20 00:39)
推
12/20 00:39, , 13F
推推推推推!~!!
12/20 00:39, 13F
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12/20 08:11, , 14F
有1的環，零次方就定義為1，沒有1的用現在的定義。
12/20 08:11, 14F
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12/20 08:12, , 15F
因為1是零次方最合理的定義。
12/20 08:12, 15F
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12/20 08:29, , 16F
合理?在整個代數上 他沒辦法做任何合理的推廣
12/20 08:29, 16F
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12/20 08:30, , 17F
在分析上 看成單純的數值運算他也一點都不合理
12/20 08:30, 17F
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12/20 08:31, , 18F
代數也不合理 分析也不合理 1哪裡是最合理的定義?
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12/20 08:31, , 19F
不定義才是最合理的就是因為"定義成什麼都有不合理"
12/20 08:31, 19F
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12/20 08:33, , 20F
1根本只是相較之下比較不爛的那顆蘋果而已
12/20 08:33, 20F
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12/20 08:36, , 21F
老實說我以前也以為不定義只是還在爭論中而已 多虧有
12/20 08:36, 21F
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12/20 08:37, , 22F
你這位沒學過數學的來亂 釣出高手回文我才知道不定義
12/20 08:37, 22F
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12/20 08:38, , 23F
才是最合理的 所以才會讓不定義變成共識
12/20 08:38, 23F
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12/20 08:42, , 24F
它當然可以推廣。讓x^0這個notation合理化。
12/20 08:42, 24F
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12/20 08:43, , 25F
你需要的不是數學 你需要的是英文翻譯
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在使用Σ表示時，也不會有所顧忌。
12/20 08:43, 26F
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12/20 08:44, , 27F
二項式定理在零次也可以成立。
12/20 08:44, 27F
二項式定理中的(x+y)^2= x^2+2xy+y^2中的2xy,y^2,x^2只是表示x^2,y^2,xy的個數。 證明因此不需要用到1。 (x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2, 因為xy=yx，所以xy+yx=2xy因為有兩個。 也因此(x+y)^2 =x^2+2xy+y^2 用歸納法論證二項式定理只需要使用到組合數跟nx,x^n的定義， 用不到單位元素1，因此不能說1是合理定義0^0=1的理由。
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12/20 08:45, , 28F
notation的中文是"符號" 符號還有合理不合理之分?
12/20 08:45, 28F
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12/20 08:46, , 29F
這些符號推導出來的公式，至終是為了代數字進去。
12/20 08:46, 29F
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12/20 08:46, , 30F
x跟ㄅ這兩個符號會有誰比較合理的問題?lol
12/20 08:46, 30F
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12/20 08:47, , 31F
能不能代入數字，來判斷是否合理。
12/20 08:47, 31F
所謂的代數字在代數學中也有嚴謹的定義。即便是在不包含單位元素1的R所生的多項式環 R[x]。a_0+a_1x+...+a_nx^x只是形式上的寫法。a_0,a_1,...,a_n在R中，如果r在R中 那麼a_0+a_1*r+...+a_n*r^n也屬於R中。這裡的*是R中的乘法。這一的取值， 是來自於環的乘法與加法結構，並沒有用到乘法單位元素。所以我們就把 a_0+a_1*r+...+a_n*r^n記為f(r)，讓多項式f"視為"R上的函數。 如果要區分R包含1跟R不包含1來定義不同的取值方式，這有點脫褲子放屁了。 因為不需要這麼做就可以定義的東西為什麼還要特別的去定義?況且，很多 交換環並不具有乘法單位元。
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12/20 08:47, , 32F
那個叫做"算數" 是代數理論的"一個應用"而已
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12/20 08:49, , 33F
問題根本就是你根本沒唸過代數才會鬧這種笑話zz
12/20 08:49, 33F
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能應用就是比較合理。
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12/20 08:51, , 35F
ok阿 那就讓f(x)=x^0阿 於是這個函數在0以外的地方都
12/20 08:51, 35F
還有 188 則推文
還有 4 段內文
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12/20 20:26, , 224F
的符號發生衝突混淆，看起來好像左邊是一個乘法。
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12/20 20:27, , 225F
但事實上，sigma展開i=0項,並不涉及這樣的乘法操作。
12/20 20:27, 225F
推
12/20 20:32, , 226F
沒差啦 他一直不去弄懂的就是 ax^0 和 二項式定理
12/20 20:32, 226F
推
12/20 20:32, , 227F
這就是從一開始，herstein就提及的notation概念。
12/20 20:32, 227F
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的那個 x^0 從來就不是函數 根本不能代值
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12/20 20:34, , 229F
就是不去弄懂什麼叫做代表 一定要在那邊代.代.代個鬼
12/20 20:34, 229F
推
12/20 20:36, , 230F
notation只是一個方便描寫的工具，不是嚴謹的數學
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12/20 20:38, , 231F
，表示工具不需要遵守現有、可用的代數結構，但定義
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12/20 20:38, , 232F
0^0就不是notation的問題，這是兩回事。
12/20 20:38, 232F
推
12/20 21:00, , 233F
從這邊所注意到來看，我們也可以看出用 1*x 來解釋
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12/20 21:00, , 234F
x 的是一個因果倒置的說法。x就是x，是先有了運算，
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12/20 21:00, , 235F
先有集合，乃至元素x後，我們發現有一個東西e可以
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滿足e*x=x*e=x的性質for all x，才去定義e是一個
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單位元，而有了單位元的觀念。
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12/20 21:00, , 238F
當然根據單位元的定義，e*x運算後和x是同一個元素；
12/20 21:00, 238F
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12/20 21:00, , 239F
但是如果想要反過來，強用e*x去解釋x的話，
12/20 21:00, 239F
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則是一個因果倒置的解釋方法。
12/20 21:00, 240F
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12/20 21:27, , 241F
Eeon要報告了所以壓力很大齁XD
12/20 21:27, 241F
推
12/20 21:36, , 242F
對啊有些性質一直搞不出來 問祖師爺好了
12/20 21:36, 242F
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12/20 21:37, , 243F
那些論文作者都喜歡唬爛說什麼顯然或易證
12/20 21:37, 243F
推
12/20 21:44, , 244F
唸到快吐了,啊～嘶～師公自己都說那篇很難Follow了。
12/20 21:44, 244F
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12/20 22:44, , 245F
能代值還是比較合理。數學上大部分的領域是在複數環
12/20 22:44, 245F
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12/20 22:45, , 246F
裡來討論。其它環比較少見。
12/20 22:45, 246F
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12/20 22:46, , 247F
一個公式你要區分x^0是符號還是可以代值，
12/20 22:46, 247F
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12/20 22:46, , 248F
這可不能裝作沒看見。光是從複數體就不知道多了多少
12/20 22:46, 248F
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12/20 22:46, , 249F
是增加困擾。
12/20 22:46, 249F
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12/20 22:47, , 250F
環了。算子代數什麼的。
12/20 22:47, 250F
→
12/20 22:48, , 251F
這討論到此為止吧~~因為已經沒有意義了
12/20 22:48, 251F
→
12/20 22:48, , 252F
能釐清的點也幾乎都釐清了~~~
12/20 22:48, 252F
→
12/20 22:49, , 253F
其實沒有必要再跟用月光寶盒開大絕的人討論下去了
12/20 22:49, 253F
→
12/20 22:49, , 254F
板主已經決定要鎖此文，基本上同意。
12/20 22:49, 254F
→
12/20 22:50, , 255F
數學上的環有很多種，不是只有複數域而已。
12/20 22:50, 255F
推
12/20 22:51, , 256F
現在第四台又在播九品芝麻官了，剛剛又聽到審案那
12/20 22:51, 256F
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12/20 22:51, , 257F
裡的：　賤人賤人～ XD 有空的，不如去看電視？！
12/20 22:51, 257F
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12/20 22:52, , 258F
Eeon,壓力大需要解放一下XD
12/20 22:52, 258F
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12/20 22:55, , 259F
能代值合不合理你要看那個函數本身何不合理阿
12/20 22:55, 259F
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12/20 22:56, , 260F
讓0^0=1 於是f(x)=x^0=1 是個常數函數 但是顯然的在
12/20 22:56, 260F
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12/20 22:56, , 261F
現在所內是coffee time，要去跟其他數學家聊天了...
12/20 22:56, 261F
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12/20 22:57, , 262F
今天已經喝了一杯，等一下應該還會再喝一杯....
12/20 22:57, 262F
→
12/20 22:58, , 263F
0那點f(x)不能寫成x^1*x^-1 所以x^0這個符號就只是1
12/20 22:58, 263F
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