Re: [其他] 二項式定理與多項式

看板Math作者 (QQ)時間14年前 (2011/12/12 16:54), 編輯推噓264(264推 0噓 1179→)
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※ 引述《yee381654729 (Yee)》之銘言： : 二項式定理： : 在定義0^0=1的前提下， : (x+y)^n : =ΣC(n,k)x^k*y^(n-k){k=0到n} : x,y為複數，n為非負整數。 : 公式寫得乾淨俐落。 : 在不定義0^0=1的前提下， : n只能為正整數， : 公式要如何寫才正確？ : 多項式： : 對於項次為n+1項之多項式， : c[0]+c[1]*x^1+c[2]*x^2+...+c[n]*x^n : n為非負整數。 : 在定義0^0=1的前提下， : 上式=Σc[k]*x^k{k=0到n} : 在不定義0^0=1的前提下， : 公式要如何寫才正確？ 觀戰很久了(茶) 原本想說會有新戰點 不過就像frank說的月光寶盒一樣...而且回到原點的頻率越來越高了 yee大看了這篇整理後希望你就能接受大家的想法了 當然也可以接受自己的想法^^ 如果不能的話 再提出新理由說服大家 不然老調重彈好沒意思 ------------------------------------------------------------- 在此先講一下，代數學的環中，為了書寫方便起見，有以下"符號" x*x*...*x (n個x相乘) 記作 x^n x+x+...+x (n個x相加) 記作 nx 而且！ x並不是1*x ， 當然x^n也不是1*x^n 1x =/= 1*x，前者只是計數，後者涉及到有乘法單位的環的運算 1x就只是代表一個x，2x就只是代表兩個x相加 x^1就只是代表一個x，x^2就只是代表兩個x相乘 再來 講個廢話：二項式定理顧名思議是個定理，所以是證出來的 在一個可交換環R(沒用到乘法單位元素)中，當n >= 1 時，對於所有x,y€R，有 n=1：(x+y)^n = x+y n=2：(x+y)^n = (x+y)(x+y) = x^2 + 2xy + y^2 n=3：(x+y)^n = (x+y)(x+y)(x+y) = x^3 +3x^2y + 3xy^2 + y^3 到這邊時，再重申一次，完全沒用到乘法單位元素， x^3=1x^3是代表一個x^3，並非1*x^3 ，而 3x^2y也只是3個x^2y相加 然後 可以"歸納證得"： (x+y)^n = x^n + C(n,1)x^(n-1)y^1 + ... + C(n,n-1)x^1y^(n-1) + y^n 再來，為了書寫方便，用sigma來表示的話，可以將(x+y)^n表成： n-1 (x+y)^n = x^n + Σ C(n,k)x^(n-k)y^k + y^n k=1 最後，為了更精簡這個定理，引入x^0與y^0這兩個符號來代表1 (再囉嗦一下，這個1是指一個) n 所以我們就有 (x+y)^n = Σ C(n,k)x^(n-k)y^k k=0 ------------------------------------------------------- 而高中直接將R看成實數，實數是個體，所以乘法單位元素以及反元素就被扯進來 看看在一個field中，指數律發生什麼事： x是一個非零的元素，因為是體所以有乘法反元素 因此存在唯一的一個數y，使得x*y=1，其中1是乘法單位元素 而為了很爽，用x^(-1)這個符號代表x的乘法反元素 所以 x^1 * x^(-1) = 1 (x=x^1) 而n個x^(-1)相乘用x^(-n)這個符號代表也是方便起見 所以當n=/=m， x^n * x^(-m) = x^n * (x^(-1)^m = 消掉消掉... = x^(n-m)是這樣來的 就只是n個x元素與m個x^(-1)元素相乘得到的結果 (x+y)^n = Σ C(n,k)x^(n-k)y^k 那如果n=m呢? x^n * x^(-n) = 消掉消掉 = x * x^(-1) = 1 其實也沒用到x^0 = 1，只是你用x^0代表1的話，好處多多 x^n * x^(-m)=x^(n-m) 對於n,m是正整數的話皆成立 再強調一次，x^0就只是個記號，代表1的記號 x^1 * x^(-1) =?= x^(1-1)，當你定義x^0=1，這個等式就會對 沒定義的話 x^1 * x^(-1)就只有等於1的份 然後x不能是0一開始就講了，因為0沒有乘法反元素 以實數舉例的話，2^1 * 2^(-1) = 1，將1記為2^0 3^1 * 3^(-1) = 1，將1記為3^0 x=/=0 x^1 * x^(-1) = 1，將1記為x^0 0^1 * 0^(-1) = Bye~ 0沒有乘法反元素 然後你最一開始的PO文中，說不能用0/0沒意義來反駁0^0=1 你用 0=0^1=0^(2-1)=0^2/0^1=0/0 也是毫無意義來舉例 一樣的，0沒乘法反元素 ----------------------------------------------------------------------- 最後，二項式定理就單純只是可交換環的一個定理 如果你不承認整個代數學，你覺得代數學是別人定義出來的，你不想用 什麼體不體，單位元素不單位元素的，都不想管 單純就只是討論我們最熟悉的實數，單純用你要的定義 你就寫你自己的定理吧 -------------------------------------------------------------------------- Yee's Theorem(僅限於實數的二項式定理)： R是實數，對於所有的x,y€R，定義x^0=y^0=1，則對於n>=1，x,y€R n 皆有 (x+y)^n = Σ C(n,k)x^(n-k)y^k k=0 其中，這定理強的地方在於x,y可以是0唷!，因為我定義了0^0=1 ----------------------------------------------------------------------- 不想要定義0^0=1的理由很多，之前很多也都講了 包括x^y極限不存在，0沒有乘法反元素，...等等 總之就是 "用不到"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 連你的砲火主力 二項式定理 也是用不到!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因為在這個定理x^0根本也不是從乘法單位元素來的 就算在體中，有乘法單位元素與反元素，x^0也是訂來的，且x=/=0 ----------------------- 有錯請指證 m(_ _)m -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.81.84 ※ 編輯: znmkhxrw 來自: 140.114.81.84 (12/12 16:57)
推
12/12 17:13, , 1F
希望這篇不會只是他無限迴圈的另一個戰場 我猜很難
12/12 17:13, 1F
推
12/12 17:16, , 2F
啊　樓上　說好的大絕咧　　　　　（敲碗）
12/12 17:16, 2F
推
12/12 17:17, , 3F
糟糕 反而是我的戰場被延伸過來了XD
12/12 17:17, 3F
推
12/12 17:54, , 4F
感謝各位高手, 小弟看完這討論串, 覺得獲益良多
12/12 17:54, 4F
推
12/12 18:05, , 5F
非常清楚！強力推薦！
12/12 18:05, 5F
→
12/12 18:07, , 6F
小弟十分感佩各位版友的耐心！辛苦了！
12/12 18:07, 6F
推
12/12 18:27, , 7F
這篇寫得太好了 不推不行
12/12 18:27, 7F
→
12/12 18:29, , 8F
這根本就是跳樓大放送 人家來亂的你還肯免費幫他上課
12/12 18:29, 8F
→
12/12 18:30, , 9F
繼續跳針的話除了給你臉你不要臉以外我也想不到更妥
12/12 18:30, 9F
→
12/12 18:30, , 10F
當的形容詞了
12/12 18:30, 10F
→
12/12 18:34, , 11F
看完這篇後 覺得自己才疏學淺 沒資格當高中老師 汗顏
12/12 18:34, 11F
→
12/12 19:38, , 12F
推一下這篇 雖然我覺得他還是會跳針說什麼公式不能代
12/12 19:38, 12F
→
12/12 19:39, , 13F
數字進去BRABRABRA
12/12 19:39, 13F
推
12/12 20:06, , 14F
不知道可不可以開賭盤賭他會怎麼跳針
12/12 20:06, 14F
推
12/12 20:06, , 15F
高中生也許不用這麼精確地知道多項式和多項式函數的
12/12 20:06, 15F
→
12/12 20:07, , 16F
不同點 所以lien也還好啦:P
12/12 20:07, 16F
推
12/12 22:22, , 17F
你好用心
12/12 22:22, 17F
推
12/12 22:34, , 18F
yee:為什麼公式不能代數字?只要定義一下，修正就可以
12/12 22:34, 18F
→
12/12 22:36, , 19F
寫這篇算是把各自論點的講一次 篇幅有點長的懶人包XD
12/12 22:36, 19F
推
12/12 22:38, , 20F
yee:你那個Σ的式子明明就有x^0 既然寫了當然可以代0
12/12 22:38, 20F
推
12/12 22:41, , 21F
yee:偷用了還不承認
12/12 22:41, 21F
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12/12 22:41, , 22F
樓上說好的大絕在哪....()敲碗
12/12 22:41, 22F
推
12/12 22:43, , 23F
我氣集滿了 但對手都被你們打爆了 根本沒機會放(逃)
12/12 22:43, 23F
推
12/12 22:48, , 24F
樓上的別裝傻XD~~~說好的大絕快放~~~~~
12/12 22:48, 24F
推
12/12 22:53, , 25F
可能yee在忙，明天會上線。你的大絕還是有用的XD
12/12 22:53, 25F
推
12/12 22:59, , 26F
12/12 22:59, 26F
推
12/12 23:25, , 27F
這是畫Grothendieck嗎XDDDD
12/12 23:25, 27F
推
12/12 23:27, , 28F
一堆高手QQ! 讚
12/12 23:27, 28F
推
12/12 23:29, , 29F
這張圖的來由是某個WOW的玩家上論譠抱怨：
12/12 23:29, 29F
→
12/12 23:30, , 30F
每次我按Alt+F4要設定熱鍵的時候，程式就關掉了？！
12/12 23:30, 30F
→
12/12 23:30, , 31F
這麼大的BUG，請趕快修好。
12/12 23:30, 31F
→
12/12 23:31, , 32F
然後 Blizzrd公司的管理員就回了那張圖了。
12/12 23:31, 32F
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12/12 23:32, , 33F
我想這張圖應該也很合現在大家的心境。
12/12 23:32, 33F
推
12/12 23:33, , 34F
頭型很像Grothendieck XD
12/12 23:33, 34F
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12/12 23:34, , 35F
Grothendieck XDDDD
12/12 23:34, 35F
推
12/12 23:38, , 36F
現在大家的心境 應該是yee用月光寶盒重置的時候
12/12 23:38, 36F
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12/12 23:38, , 37F
大家會覺得 http://ppt.cc/IslQ
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推
12/12 23:39, , 38F
突然想拿去做rage XD
12/12 23:39, 38F
→
12/12 23:43, , 39F
rage XDDD 那些圖都很北爛
12/12 23:43, 39F
還有 1364 則推文
還有 1 段內文
推
12/19 19:05, , 1404F
你一個人提出自己的妄想的確沒什麼問題 我只是在說你
12/19 19:05, 1404F
→
12/19 19:05, , 1405F
的妄想變成現實的話問題就嚴重了(雖然一百萬分不可能
12/19 19:05, 1405F
→
12/19 19:06, , 1406F
一個最根本的就是 二項式定理根本就是代數學領域發展
12/19 19:06, 1406F
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12/19 19:07, , 1407F
出去的小分支 你拿分支當武器來攻擊主幹是錯的?
12/19 19:07, 1407F
→
12/19 19:08, , 1408F
除了挖鼻孔打出/lol我也不知道該做啥反應(我好宅...
12/19 19:08, 1408F
推
12/19 19:46, , 1409F
回家後發現 好像在看某些拖台錢漫畫一樣
12/19 19:46, 1409F
→
12/19 19:46, , 1410F
隨時切入都沒有跟不上的問題 每回內容都差不不多
12/19 19:46, 1410F
推
12/19 19:49, , 1411F
其實戰一戰，我有想到這跟三立或民視的八點檔鄉土
12/19 19:49, 1411F
→
12/19 19:49, , 1412F
劇差不多。
12/19 19:49, 1412F
推
12/19 19:59, , 1413F
他不要在那邊滿口垃圾　麻木不仁　睜眼說瞎話 ooxx
12/19 19:59, 1413F
推
12/19 20:00, , 1414F
我又想起蝙蝠俠和小丑了
12/19 20:00, 1414F
→
12/19 20:00, , 1415F
什麼的話，我這個人很nice的（？！）本來我也懶得
12/19 20:00, 1415F
→
12/19 20:00, , 1416F
下場戰他，頂多就是在場邊圍觀，不時推些不知所謂
12/19 20:00, 1416F
→
12/19 20:00, , 1417F
的垃圾推文娛樂大眾；反正出手的人已經夠多了（無誤
12/19 20:00, 1417F
→
12/19 20:00, , 1418F
上網十餘載，頭一次用這種姿勢（？！）戰人。
12/19 20:00, 1418F
→
12/19 20:01, , 1419F
Eeon大大真不愧是體位論的強者！！
12/19 20:01, 1419F
→
12/19 20:02, , 1420F
可以幫找個實際對象，讓我驗證一下0^0到底是不是1嗎
12/19 20:02, 1420F
推
12/19 20:03, , 1421F
要試別的姿勢了嗎？ >///<
12/19 20:03, 1421F
推
12/19 20:38, , 1422F
yee先生知道什麼是polynomial ring嗎？我覺得你可能
12/19 20:38, 1422F
→
12/19 20:38, , 1423F
連什麼是ring都搞不清楚吧
12/19 20:38, 1423F
推
12/19 20:42, , 1424F
他連group都搞不清楚，上一篇的推文有...=.=
12/19 20:42, 1424F
推
12/19 20:44, , 1425F
目前的進度是他不知道1是什麼
12/19 20:44, 1425F
→
12/19 20:44, , 1426F
可以確定的是 沒辦法讓他代入數字的都是垃圾
12/19 20:44, 1426F
推
12/19 20:47, , 1427F
不知道0不知道group都沒關係，人格態度有問題才嚴重
12/19 20:47, 1427F
推
12/19 20:53, , 1428F
他喜歡或堅持怎樣是一回事，到處亂入用錯誤不嚴謹的
12/19 20:53, 1428F
→
12/19 20:54, , 1429F
觀念去影響那些沒受過嚴謹數學訓練的人才嚴重…
12/19 20:54, 1429F
→
12/19 20:57, , 1430F
陷入到self-cycle的人阿....
12/19 20:57, 1430F
推
12/19 21:13, , 1431F
他有說那些不過是"細節", 並無礙其推論...
12/19 21:13, 1431F
推
12/19 21:20, , 1432F
基本觀念錯一大堆是在推論什麼鬼
12/19 21:20, 1432F
推
12/20 00:15, , 1433F
沒有1的交換環是有的，還很多，也很常用。
12/20 00:15, 1433F
→
12/20 00:16, , 1434F
所以，要是0^0=1牴觸了環的結構，只能犧牲他。
12/20 00:16, 1434F
推
12/20 00:35, , 1435F
在多項式環中，一直只有a*x^0=a，而沒有0^0=1。
12/20 00:35, 1435F
推
12/20 01:36, , 1436F
拉回來一下，就算是實數體這麼好的環，雖然有1，也是
12/20 01:36, 1436F
→
12/20 01:36, , 1437F
會傾向讓0^0未定義，至於原因這一串下來，已經n個人
12/20 01:36, 1437F
→
12/20 01:36, , 1438F
說了m次了。討論會走到沒有1的環的問題，主要在於要
12/20 01:36, 1438F
→
12/20 01:37, , 1439F
清楚正確地解釋sigma這個符號的意義及約定俗成，以及
12/20 01:37, 1439F
→
12/20 01:37, , 1440F
回應yee大師對於x^n的特異理解法，e.g.x^2=1*x*x。
12/20 01:37, 1440F
推
12/20 01:41, , 1441F
至於TRAP說的蝙蝠俠和小丑，可參考：
12/20 01:41, 1441F
→
12/20 01:43, , 1442F
12/20 01:43, 1442F
→
12/20 01:43, , 1443F
12/20 01:43, 1443F
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