Re: [其他] 二項式定理與多項式

看板Math作者herstein (翔爸)時間14年前 (2011/12/02 20:26)推噓86(86推 0噓 871→)

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※ 引述《yee381654729 (Yee)》之銘言： : 在不定義0^0=1的前提下， : n只能為正整數， : 公式要如何寫才正確？ : 多項式： : 對於項次為n+1項之多項式， : c[0]+c[1]*x^1+c[2]*x^2+...+c[n]*x^n : n為非負整數。 : 在定義0^0=1的前提下， : 上式=Σc[k]*x^k{k=0到n} : 在不定義0^0=1的前提下， : 公式要如何寫才正確？原本實在是不想回的.... 我想你把Sigma的概念給想錯了，Σa_n只是一個記號而已，他不是公式。 Sigma的引進是為了"記和"。在數學上，我們常需要計算一些數字的和，例如 a_1+a_2+...+a_n，但是用"..."這樣的符號來表示是非常的語意不清。於是數學家就發明了利用希臘字母來表示和，於是就引進了Sigma這樣的符號概念。然後大家約定 Σ_{k=1}^{k=n}a_k =a_1+a_2+...+a_n (連加n項) 重點是在於後面的和，Sigma只是用來表示這樣的和而已。而大家在討論多項式的時候為了不想要記a_0+\sum_{k=1}^{k=n}a_kx^k，所以就約定x^0=1，然後多項式a_0+a_1x+...+a_nx^n就約定寫成 \sum_{k=0}^{k=n}a_kx^k=a_0+a_1x+...+a_nx^n 這是方便起見。而二項式定理的情況也是類似，例如 (x+y)^n =x^n+ {n\choose 1}x^(n-1)y+...+{n\choose n-1}xy^{n-1}+y^{n} 於是約定x^0=1, y^0=1，然後就可以把和"表示成" \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}x^(n-k)y^{k} 但實際上你要永遠清楚你在處理的問題是在求和，不是在sum =Sigma上。只是這樣的符號實在是太好用了，好用到我們其實是可以直接用這符號來處理數學問題。而多項式f(x)=\sum_k a_kx^k給了你，是告訴你f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n。而帶值的方式是 f(a)=a_0+a_1a+...+a_na^n。這在我上面那一篇回應你的0^0=1的內容就提到了。"變數"跟"數"的概念是不一樣的。數的概念可以推廣，這也是為甚麼後來需要發展代數理論的關係。這裡的數我們談實數體的數或複數體的數。甚至是更一般的體(field)的數都可以用來研究多項式。事實上多項式的系數並不需要要求在一般的體，你可以研究係數在一般的環的多項式。 "變數"的概念就不同了，在代數學中你可以抽象的引進形式上的符號(formal variable) 建構一套以這個變數為出發點的代數理論。數學在過去一兩百年已經完整的建構了最基礎的分析，代數體系。這是經歷了數百位著名的數學家的努力才足以完成。數學不只有算術，最重要的是他必須要建立一套嚴謹的理論:在公設系統出發之下建立的任何命題，推論，定理都是不能產生自相矛盾的。你當然可以更改公設系統發展出另外一套的數學理論。例如從歐幾里得幾何學到非歐幾里得幾何學的發展就是這樣的一個過程。只是你建立的數學系統是否能用到數學其他的領域才是最重要的。如果你真的想繼續討論下去，你真的必須要用更多的理由來說服大家0^0=1是重要的。上面的代數理論並不是為了逃避0^0=1才發展的。這是為了建構完整的多項式理論發展的，(推廣多項式到更一般的環上)在推廣這樣的理論時根本就用不到0^0=1。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 195.37.209.182 ※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (12/02 20:49)

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TRAP

12/02 21:08, , 1^F

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herstein

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Eeon

12/02 21:18, , 3^F

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