Re: [微積] 微積分基本定理
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
:"" if F 可微 (但F'不連續) but F'在[a,b]可積 (Riemann integrable)
: x
: then S F'(x) dx 是否一定可微??? ""
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可以在"你的假設"得到一個肯定的回答
x
∫ F'(x) dx = F(x) - F(a)
a
但這似乎無法只在微積分的課程得到證明. ---->我這句話是錯的
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原問題的留言有提供簡單證明的網頁,用以下定理是大材小用.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus
Proof of the second part (Fundamental theorem of calculus)
只需用MVT 跟 limit 就可以簡單證明囉
謝謝網友 wickeday
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以下只要介紹一個定理,馬上就能得到你要的答案. (這前後幾個定理,都是維積
分基本定理更深入探討)
W.Rudin : Complex and Real Analysis (3th Edition) , Page 149, Thm 7.21
可以簡單得到一個結論
if
(i) f is differentiable on [a,b] .
(ii) |f'(x)| is bounded on [a,b].
x
then f(x)-f(a)=L∫ f'(t)dt 這邊L代表 Lebesgue 積分
a
在你的例子上
Because f'(x) is Riemann integrable on [a,b] (compact)
so
|f'(x)| is bounded
x x
hence f(x)-f(a)=L∫ f'(t)dt = R∫ f'(t)dt
a a
這邊L代表 Lebesgue 積分 , R 代表 Riemann 積分
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