Re: [微積] 一題積分

看板Math作者rachel5566 (rachel5566)時間13年前 (2011/04/06 00:14)推噓4(4推 0噓 0→)

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※ 引述《PowerGeMOS (心灰意冷該做的做好就好)》之銘言： : 想請教這題積分要怎麼積?? : 我用變數變換積不出來 : ∞ : ∫ cos(X^2) dx : 0 利用複變積分: 取以下路徑做封閉迴路積分 y ↑ L : 從原點開始延x軸 ┐ │ │ │ ╱╲ C1: 延為扇形的弧 ├ C = L + C1 + C2 │ C2 ／ ↖ C1 │ │ ↙ ﹨ C2: 延半徑回到原點 ┘ │╱ π/4 \ └──→────→ x L 考慮積分: ∮ e^(iz^2)dz = ∫e^(ix^2)dx + ∫ e^(iz^2)dz + ∫ e^(iz^2)dz = 0 (不包含奇點) C L C1 C2 ∞ 其中 ∫e^(ix^2)dx = ∫ e^(ix^2)dx L 0 分析 ∫ e^(iz^2)dz，令 z = Re^(iθ) => dz = Rie^(iθ)dθ C1 π/4 => 原式 = ∫ e^[i(R^2)e^(i2θ)] Rie^(iθ)dθ 0 R→∞ π/4 = ∫ 0 dθ = 0 (對裡面那個函數取R無限大，可推得極限值0) 0 分析 ∫ e^(iz^2)dz，令 z = re^(iπ/4) => dz = e^(iπ/4)dr C2 0 => 原式 = ∫ e^[i(r^2)e^(iπ/2)] e^(iπ/4)dr ∞ 1 1 0 1 1 －√π = (── + i──) ∫ e^(-r^2)dr = (── + i──)─── √2 √2 ∞ √2 √2 2 所以整個迴路積分: ∞ 1 1 －√π ∮e^(iz^2)dz = ∫ e^(ix^2)dx + 0 + (── + i──)─── C 0 √2 √2 2 ∞ 1 1 √π => ∫ e^(ix^2)dx = (── + i──)── 0 √2 √2 2 ∞ ∞ = ∫ cos(x^2)dx + i∫ sin(x^2)dx 0 0 ∞ √π ∴ ∫ cos(x^2)dx = ─── 0 2√2 -- 作者 takuminauki (蚊子) 看板 Gossiping 標題 [爆卦] 蜘蛛精時間 Sun Apr 3 01:20:09 2011

推

ZMittermeyer

04/03 01:40,

04/03 01:40

→

ZMittermeyer

04/03 01:41,

04/03 01:41

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推

Scorpliu

04/06 00:19, , 1^F