Re: [代數] integral domain
Abstract Algebra by Herstein ：
A ring is said to be a field if R is a commutative division ring
(交換可除環)
------------------------------------------
from this
if R is a field
then
a. R is a ring─ →(R,+) is an abelian group
│→associativity & closed for "‧"
│→distributrion for "‧" to " + " (乘法對加法有分配律)
b. R is a commutative ring─ → satisfying a.
│→ for "‧" is commutative
c. R is a division ring─ → satistying a.
│→ 有"‧"單位元素
│ (因為division ring是定義在A ring with unit)
│→ 對於非" + "單位元素的元素(即是非零)，存在反元素
再來看你這個定義
----------------------------------------------------------------
A commutative ring in which the set of nonzero elements forms
a group with respect to multiplication is called a field.
是說 commutative ring 裡面的 非零元素 能構成 乘法群 的話
---------------------------------------------------------------
其中 "非零元素 能構成 乘法群" 意思是 (R-{0},‧) is a group
因為是group
所以
對於不等於0的元素符合"‧"單位元素性質
對於不等於0的元素都有反元素
所以我們只剩下要檢查對於等於0元素而言是否"‧"單位元素性質
(Note：對於不等於0的元素符合"‧"單位元素性質 這句話
並不能說明This ring is a ring with unit
因為要是乘法單位元素要適用"R 中任何元素")
也就是說我們還需要檢查 下列式子是否成立：0‧1 = 0 = 1‧0
而這個式子對於ring都會是對的(不一定要是a ring with unit才會對喔！)
----------------------------------------------------------------------
簡而言之 你講的那個定義在加上Check 零元素亦會符合"‧"單位元素性質 就是
Herstein 書上寫的定義了，而其實也不用check拉 那個性質Ring一定會對
-----------------------------------------------------------------------
再來是Domain的問題
先講一下Integral Domain跟Domain
Integral Domain：A commutative ring satisfy if a‧b=0 then a=0 or b=0
Domain： A ring satisfy if a‧b=0 then a=0 or b=0
所以只是差在有沒有commutative
所以有這兩件事情
Division ring => Domain
Field (commutative division ring) => Integral Domain
只要假設存在 a,b 均 =/= 0 但是a‧b=0
用 取a的反元素c
c‧(a‧b)=c‧0
(c‧a)‧b =c‧0
1 ‧b =c‧0=0
b =0 矛盾
所以Division ring => Domain
而Field (commutative division ring) => Integral Domain
只是雙方各加上commutative而已
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.146.242
推
12/28 00:12, , 1F
12/28 00:12, 1F
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 4 之 5 篇)：