Re: [理工] 微積分問題
※ 引述《keke0421 (zrae)》之銘言：
: 第二題
: lim ( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ) [ xx 就不寫了] ---------(1)
: x->∞
: = lim xxx + lim xxx + ... + lim xxx ---------(2)
: x->∞ x->∞ x->∞
: 若單看(2) 顯然就是每個小極限都會存在 而且值收斂至0 而且0是實數
: 但是你覺得(1)本身會不會存在呢?
: 如果你都不能確定它存在 那題目中這個(2)的 "等號" 是不是本身就可能錯的?
: 如果你能確定(1)存在 "說不定" (2)也存在 那他們就可以寫個等號連在一起
: 不過如果你證出(1)存在 那這題就結束了
: 所以你要先知道什麼叫極限存在。
這題是這樣才對
這題的問題在於雖然可以拆解成許多個小極限,每一項都趨近於0,
但是隨著n趨近無窮,項數也會從n項趨近無窮,造成有0+0+0+....0+....無窮項趨近於0
所以你還是不能藉由每一項都趨近於零保證原式會存在
無窮級數的級數和的定義就是nth partial sum取n趨近於無窮的極限值
即:
lim a1 +a2+a3+a4+.....+an=lim Sn=S
n->∞ n->∞
而此值是否會等於每項拆開取極限,就相當於在問極限和sigma運算上是否能交換順序
也就是
n ∞
lim sigma ai = sigma lim ai是否成立
n->∞ i=1 i=1 i->∞
但能使這樣性質成立的級數十分少,關於這方面數學系可能會有深入的探討
在大一微積分中,就告訴你只有absolutely convergent的級數,對它任意重新排列
(rearrangement),其級數和也都只會收斂到同一個數值
相對的conditionally convergent的級數,將它任意排列會收斂到任意的實數值
比如:
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+.......=ln2
而 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+.............=3/2 ln2
所以關於無窮級數,不能任意對它們的每一項拆開分析
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