Re: [理工] [工數][ode]
※ 引述《asdf322505 ()》之銘言：
: 2 x
: (x+3)y''-(2x+7)y'+2y=(x+3) e
: 2x -2x-7 x
: ans;y=c1e +c2-----------+e (-x-4)
: 4
: 這題是用降皆法求嗎?
看到這種非齊性方程式 左邊沒有因變數相乘 也很單純是自變數相乘項
可以先試試看令右邊=0 先找到ㄧ個齊性解 在另y = uφ 找到非齊性解
這是以根找根的的方法
λx
觀察一下可以發現令 y = e 可以找到一解 λ = 2
至於為什麼是令指數 指數不管微分幾次都還是指數本身
所以最後exp一定會消掉剩下簡單的一元一次找根
2x 2x 2x
令y = e * u y' = (u'+2u)e y''= (u'' +4u' +4u) e
代入方程式
整理得
2 -x
(x+3) u'' + (2x+5)u' = (x+3) e
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
得結果還是降階的形式
同除x+3
2x+5 -x
u'' + ------ u' = (x+3)e
x+3
2x 2x
e -x e x
( u'* ---- )' = (x+3)e * ---- = e
x+3 x+3
兩邊積分
2x
e x
u'*---- = e + c1
x+3
^^^^^
↑丟去右邊 再積分一次
-x -2x-7 -2x
u= - (x+4)e + c1 [------] e + c2
4
2x
因y = u*e
2x x -2x-7 2x
故u*e = -(x+4)e + c1 [-----] + c2*e
4 #
-----------------------------------------------------------------
提供d大的解法 分解降階
原本我以為不能 後來發現可以直接降階 0.0
(2x+7) 2 x
原題 y'' - ------ y' + -----y = (x+3)e
x+3 x+3
2 x
→[(x+3)D-1][D-2]y = (x+3) e
^^^^^^
令u = [D-2]y
2 x
→[(x+3)D-1]u = (x+3) e
2 x
→(x+3)u' - u = (x+3) e
1 x
整理得結果(u * --- ) ' =(x+3) e
x+3
2x -2x x
[e (y*e )' ]' = (x+3) e
之後跟前面做法相同 就不多打了
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