Re: [理工] [工數]-級數解

看板Grad-ProbAsk作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間14年前 (2010/04/09 06:04)推噓6(6推 0噓 2→)

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※ 引述《k0184990 (追隨夢想..)》之銘言： : 題目: : 求解 (x^2+1)*y'' + x*y' - y = 0 感覺我推文說得蠻模糊而且怕原 po 把解析和可微搞混我講詳細一點好了: --- 首先介紹何謂 smooth : http://ppt.cc/XC_y 簡單說某函數 f(x) 在 x=a 點為 smooth 代表 f(a) 、 f'(a) 、 f''(a)、... 皆存在至於何謂 analytic : http://ppt.cc/hcyu 若 f(x) 在 x=a 點為 analytic 代表著存在一個開區間｜x - m｜<δ , δ>0 且滿足｜a - m｜<δ 使的 f(x) 的 Taylor series 在此開區間上皆會收斂於 f(x) 寫簡單點　　你可以讓 m=a (n) ∞ f (a) n 使的 f(x) = Σ ──── (x-a) 收斂於｜x - a｜<δ n=0 n! ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 由上面所註記的式子　　不難知道若 f(x) 在某個小區間上可以用 Taylor series 展開　　那 f(a) 、 f'(a) 、 f''(a) 、.... 等都應該要存在吧 ( 因為那些導數皆為 Power series 上的 coefficients ) 表示: f(x) 在 x=a 點為 analytic → f(x) 在 x=a 點為 smooth ←→ f(x) 在 x=a 點無窮可微上述為充分條件，但非必要條件可以參考 http://ppt.cc/kxxr 若不想記這些雜七雜八的式子　　我自己的想法是　　若存在 δ>0 , 使的 f(x) 在｜x-a｜<δ 上的所有 x 點其 f(x)、 f'(x) 、 f''(x) 、 ... 皆存在　　那 f(x) 在 x=a 點就稱作 analytic 它和 smooth 的差別在於 analytic 是在討論 x=a 點與其鄰域是否無窮可微而 smooth 只有討論 x=a 點是否無窮可微 but 兩者皆須在 x=a 的鄰域下去討論　　所以這兩者蠻容易混淆的至於 f(x) 在 x=a 點可微　　其實相對於前面所述　限制條件就非常的寬鬆　　代表 f'(a) 存在即可 ------------------------------------------------------------------------------ 若搞清楚那些名詞上的差異接著就來看二階線性 O.D.E. 的一些相關名詞定義: 假設二階 O.D.E. y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 ____(1) <1> ordinary point: 若 p(x) 、 q(x) 在 x=a 點為 analytic 則稱作 x=a 在 (1)式為 ordinary point <2> singular point: 若 x=a 對 (1)式來說非 ordinary point 則稱作 x=a 在 (1)式為 singular point 所以會發現常點、奇異點名詞上的定義可有可無 = = 因為只要知道何謂 analytic 就夠了至於討論這個的原因是　　今天你想對 (1)式的通解作 Taylor series expansion 不就代表著需要存在一個開區間 D 　　使的該無窮級數會在 D 下收斂，　也就是 y(x) 在 D 下為 analytic 又因為 p(x) 、 q(x) 和 y(x) 存在一個關係 ( 也就是 (1)式 ) 讓 p(x)、q(x) 被迫繼承也要在 D下為 analytic 才行 ( 若你想在 D 下對 y(x) 作 Taylor series expansion ) ---- ∞ n 所以並非說你想假設 y(x) = Σ (a_n)(x-b) n=0 帶進去 O.D.E. 就可以解出來　　而是你必須先討論 "存在性" 的問題　　當你判斷出那樣子假設是可以成立於某些區間才能接著進一步的下去算像瑕積分、 Laplace Transform 、 Fourier Transform 正確的解法是須先討論該積分式是否 "存在" 也就是判斷其斂散性若該積分式是某某變數的函數例如 LT的　 L{f(t)} = F(s) 那算 f(t) 的 LT 就必須先討論 s 的收斂區間以及斂散性質因為不論是微分、積分、無窮級數　　都有涉及到 "極限" 算極限值　　很容易犯一些極限上的錯誤推論而不自知 (這點我自己也常犯 OTZ) 　　算是題外話 ------------------------------------------------------------------------------ 不知不覺嘴砲太多＝＝ll 　　再嘴砲一下XD 關於原po提到的 (x^2+1)y'' + xy' - y = 0 你要怎麼對 y(x) 用 power series 展開都可以　　不論是用 Taylor series method 還是 Frobenius method 或是歪七扭八的無窮級數皆可　　反正 "先判斷自己假設的無窮級數存在性"　就對了不同的展開法會有不同的判斷法展開後的收斂區間也不一定會相等至於判斷出 x= i or (-i) 為 regular singular point 那可否對此兩點用 Frobenius method 算? 我的建議是: 不要! 因為這已經把問題 map 到複數空間上去了複空間下的可解析和可微是一體兩面而且定義和實數空間下的差別很大原本只需要討論一個實數軸　　變成需要討論整個複平面　　從各個方向做逼近會不會存在且相等本身就是一個問題了 -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (04/09 06:04)

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