Re: [理工] [工數]-級數解

看板Grad-ProbAsk作者shinyhaung (我是Shiny)時間14年前 (2010/04/09 00:15)推噓6(6推 0噓 27→)

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※ 引述《k0184990 (追隨夢想..)》之銘言： : 題目: : 求解 (x^2+1)*y''+x*y'-y=0 : [sol]: x 1 : y''+ -----y'- -----y=0 : x^2+1 x^2+1 : x 1 : P(x)=------ ； Q(x)=------ : x^2+1 x^2+1 : 當x^2+1=0，x=正負i : 這樣x=正負i算是規則奇異點嗎?? : 這題我是用Frobenius解的...但似乎好像錯誤... : 一直解不出來。 : ANS: 1 1 : Co(1+ ---x^2- -------x^4)+C1x : 2 2^2*2! : 還有我記得周老師說Frobenius級數解適用於規則奇異點 : 但是為什麼(x^2+2)y''+3xy'-y=0卻是用幂級數解呢?? : 感覺好像觀念有錯誤...還是這題也可以用Frobenius來求解? : 但是卻不知到哪裡錯誤了XD : 希望大大能夠幫我解釋一下~~~ PS : iynn大 doom大 C大都跑去清交玩耍了剩我還在拼成大面試..orz 平常這種題目都是被秒殺的(菸~) 去年版上有某位神手提點我終於瞭解如何判斷是否奇異點 y" + P(x)y' + Q(x)y = 0 如果要判斷某一點是否為奇異點 lim P(x) ≠ (不可解析) 且 lim Q(x) ≠ (不可解析) 就算等於0 x->a ^^^^ x->a 我們都說不為奇點 n 用 y = Σ An(x-a) 若上述其中一個為(不可解析)則為奇異點接下來判斷是否是規則奇點我們只會作規則奇點的級數解 2 lim (x-a)P(x) ≠ (不可解析) 且 lim x Q(x) ≠ (不可解析) 那麼就是規則奇點 x->a ^^^^ x->a n+r 用 y = Σ An(x-a) 反之則為不規則奇點 -----------------------以上只用於判斷解題並非依照原理------------------------- 你問的這題 (x^2+1)y''+xy'-y=0 x 1 => y'' + --------- y' - --------- y = 0 x^2 + 1 x^2 + 1 x 1 P(x) = --------- , Q(x) = --------- x^2 + 1 x^2 + 1 因此判斷是否為奇點題目沒說一般都為對0展開 lim P(x) = 0 , lim Q(x) = 1 x->0 x->0 ∞ n ∞ n-1 ∞ n-2 因此不為奇點令 y = Σ An x , 且 y' = Σ n An x , y'' = Σ n(n-1)An x n=0 n=0 n=0 帶入原方程式整理可得 (n^2-1)An + (n+2)(n+1)A(n+2) = 0 n - 1 A(n+2) = - ------- An n + 2 令A0 = c0 , A1 = c1 n = 0 ~ n = 2就會得到你的答案了不過看你答案應該只要求前三項用直接展開法比較快 -- ▆ ▆▆▆▆▆ ▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄ ▆▆▆▆▆ ▇ ▌ ▉ ◥◣ ◢◤ ▎ ▌ ▌ ▉ ◥◣ ◢◤ ▎ ▌ ▌ ▉ ◥◣ ◢◤ ▎ ▌ ▌ ▉ ◥◣◢◤ ▎ ▌ ▁ ◥◤ ▁ ＠shinyhaung -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 112.105.72.218 ※ 編輯: shinyhaung 來自: 112.105.72.218 (04/09 00:21)

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doom8199

04/09 00:23, , 1^F

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^^^^^^^^^有神快拜我沒說你掛了阿XD ※ 編輯: shinyhaung 來自: 112.105.72.218 (04/09 00:25)

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kagato

04/09 00:29, , 2^F

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honestonly

04/09 00:30, , 3^F