Re: [理工] [ODE]
※ 引述《gn00648013 (大偉)》之銘言：
: 題目是
: ----------------------------------------
: x'=-2x+y
: y'=-4x+3y+e^-t x'=dx/dt y'=dy/dt
: ----------------------------------------
: 請問是 dx/dt=-2x+y
: dt=1/(-2x+y)dx
: 帶入dy/dt=-4x+3y+e^-t
: dy=(-4x+3y+e^-t)*(-2x+y)dx
: 之後再個別對dx dy作積分嗎???
我是用運算子來算的
參考一下囉
x'=-2x+y...(1)
y'=-4x+3y+e^-t...(2)
原式改寫成
Dx=-2x+y
Dy=-4x+3y+e^-t
移項整理
(D+2)x-y=0...(3)
4x+(D-3)y=e^-t...(4)
(3)*(D-3)+(4)得
[(D+2)(D-3)+4]x=e^-t
(D^2-D-2)x=e^-t...(5)
(D-2)(D+1)x=e^-t
D=2,-1
2t -t
xh=c_1e + c_2e
-t
令xp=Ate
-t -t
xp'=Ae -Ate
-t -t -t
xp"=-Ae -Ae + Ate
代入(5)得
-t -t -t -t -t -t -t
-Ae -Ae + Ate -(Ae -Ate )-2Ate = e
-t -t
-3Ae =e
-3A=1，A=-1/3
2t -t -t
x(t)=xh+xp=c_1e + c_2e -1/3te
2t -t -t -t
x'(t)= 2c_1e - c_2e +1/3te - 1/3e
代入(1)式得
2t -t -t -t 2t -t -t
2c_1e - c_2e +1/3te -1/3e = -2(c_1e + c_2e -1/3te ) + y
2t -t -t -t
y(t)= 4c_1e + c_2e - 1/3te -1/3e
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