Re: [理工] [工數]-傅立葉級數
※ 引述《winer8 (快來明星3 缺1 )》之銘言：
: .1.find a formal fourier series solution of the endpoint value problem
: x"+4x=4t x(0)=1 x(1)=0
: n+1
: ∞ 1 4(-1)
: 答案 x=2Σ --------- [-------- - nπ] sin nπt
: n=1 4-n^2π^2 nπ
0 - 1
令z(t) = ─────t +1 = -t+1 修邊界
1
令x(t) = y(t) + z(t) = y -t +1
x(0) = y (0) + 1 = 1 y(0) = 0
x(1) = y (1) -1 +1 = 0
y" + 4y - 4t + 4 = 4t
y" + 4y = 8t-4
∞
邊界有了 用PDE的特徵函數展開法 {sinnπt}
1
∞
y(t) = Σ cnsinnπt
n=1
∞
8t-4 = Σ ansinnπt
n=1
1
an = 2∫ (8t-4)sinnπt dt
0
8 n
an = ──(-1 - (-1) )
nπ
∞ 2 2
Σ{[-nπ + 4]cn - an}sinnπt
n=1
an 8 n
cn = ────── = ─────── (-1-(-1))
4-n^2π^2 (4-n^2π^2)nπ
∞
y(t) = Σ cnsinnπt
n=1
把cn代回吧
然後X(t) = y(t) -t +1
就是解答了
感覺好像跟你給的答案不同
: 2.x(t)=1 -0.5 <t<0.5 x(t)=0 otherwise
: ∞ sinwcos(2w)
: find S ------------dw
: -∞ w
: 答案 0
我不知道他給的x(t)要幹啥= =
我直接把他要求的抓起來積分
∞ sin3z - sinz
∫ ─────────dz
-∞ 2z
iθ iθ
令z=re dz = ire dθ r->∞
π e^i3θ - e^iθ iθ
IM ∫ ───────── ire dθ
0 re^iθ
ie^3iθ ie^iθ | π
=im ( ──── - ─── ) |
3i i | 0
sin3θ │ π
= (──── - sinθ) │ = 0
3 │ 0
這題我亂想的= = 我不知道他給前面那串做啥
: 3.x(t)=∣t-1∣ , 0<t<2 x(t+2)=x(t) ,expand into fourier series
: ∞ inwt ∞
: x(t)= Σ Xn e = a0 +Σ an cosnwt +bn sinnwt
: n=-∞ n=1
: ∞
: find (1)Xn (2)an bn (3)Σ an cos(1/2)nw
: n=1
: 1
: 答案(1)Xn=--------[1-cosnπ] , n≠0 X0=1/2 w=π
: n^2π^2
: 2
: (2)a0=1/2 ak=------- [1-cosnπ] , bn=0
: n^2π^2
: ∞
: (3) Σ an cos(1/2)nw=0
: n=1
(1) 1 ∞ -inπt
cn = ──∫ |t-1|e dt
2 -∞
2 1
= ── ∫ 1-t(cosnπt)dt
2 0
1-cosnπ
= ──────── n=/=0
n^2π^2
2 1 1
c0 = ──∫ 1-t dt = ───
2 0 2
(2) 2 1 1
a0 = ──∫ 1-t dt = ───
2 0 2
2 1 2(1-cosnπ)
an = ───∫ (1-t)cosnπt dt = ──────── n=/=0
1 0 n^2π^2
第(3)題看不懂 an跟他給的好像不搭嘎 = =
第二題感覺好像這樣解也有點問題
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推
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