Re: [閒聊] 虛數之海是啥??

看板C_Chat作者 (豆豆奶)時間5年前 (2018/12/20 07:09), 5年前編輯推噓205(206推 1噓 133→)
留言340則, 196人參與, 6年前最新討論串3/8 (看更多)
※ 引述《surimodo (好吃棉花糖)》之銘言： : 就是EVA出現的其中之一使徒 : 能使用一招虛數之海 : 把人傳送到另一個空間? : 不過為啥真嗣從底下被吃掉 : 卻從陰影(球體)出來 : 不懂 : 我以為應該從哪進去從哪出來 : 有沒有希洽數學家能解釋一下...? 先說，我不是數學家，只是工作需要看很多科普書。 歡迎數學系各大高手指教。 讓我們先從歐幾里得幾何學說起吧。 歐幾里得的《幾何原本》寫於西元前300年，約為戰國時代。 然而現代國中數學以前的內容，都不脫於這本書提到的概念。 歐幾里得幾何有以下五個不證自明的公理。（抄自維基） 1. 從一點向另一點可以引一條直線。 2. 任意線段能無限延伸成一條直線。 3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。 4. 所有直角都相等。 5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直 線在這一邊必定相交。 前四個公理簡單易懂，但第五公理卻顯得相當冗長。 簡單說一下，第五公理指的是， 　　設一條直線L分別與直線A、直線B相交，如圖 https://imgur.com/yT6CVWG.jpg
　　而L與A、B在其中一側（譬如說右側）的內角和（圖中標出紅色的角）小於180度 　　則A、B必在這一側（右側）相交 第五公理等價於「通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。」 又稱做平行公理。 聽起來很廢話對吧。 事實上，一千多年來，也真的有許多數學家認為平行公理是廢話， 而想要用前四項公理證明平行公理。 但他們都失敗了。數學家們不得不承認，必須賦予它「公理」的地位。 講到這裡可能已經有人知道我之後想講什麼了，不過這理先賣個關子。 先問個問題。三角形的內角和是幾度？ 聰明的你應該在小學就知道「三角形內角和是180度」了。 但這僅限於歐幾里得平面。 想像地球表面是一個完美球面。 球面上的直線有個名字叫做「測地線」或「大圓」，指的是球面上，圓心在球心的圓。 （經線是測地線，緯線除了赤道外皆不是測地線） 球面上，由三條測地線形成的三角形，其內角和就大於180度。 舉例來說，由北極點、北緯0度東經0度、北緯0度東經90度這三個點所形成的三角形， 內角皆為直角，故內角和為270度。 球面上的三角形還有個有趣的性質。 那就是，我們不需要知道邊長，只要知道三個角是多少，以及球半徑， 就知道三角形的面積是多少。（或者換個方式說，同一球面上的相似三角形必定全等） 公式為△ABC = R^2 (α+β+γ-π) 其中，α、β、γ為三個內角，π為180度。 推導過程我就省略了，大家可以自行試著推推看。 讓我們把這個公式順序調換一下： 1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC 可以看出，當R→∞時，左邊為0。 也就是說，當球面半徑趨近無限大時，球面趨近平面， 此時，三內角和α+β+γ=π=180度。 和我們小時候背的公式一樣。 接下來要講的會有點複雜。 我們可以把1 / R^2換成K，得到 K = (α+β+γ-π) / △ABC 這裡的K相當於「高斯曲率」。 先說明什麼是曲率。 平面上一條曲線在某個點上的曲率，為曲線在這個點上之切圓的半徑的倒數。 正負號由曲線的方向而定。 曲面上的點在各個不同方向上皆有不同曲率， 而高斯曲率指的是曲面上一個點之最大曲率與最小曲率之乘積。 球面一點上的曲率在各個方向皆相同，可能皆為正數、或皆為負數。 故球面高斯曲率必為正數。 平面的高斯曲率為0。 那麼，有沒有高斯曲率為負數的曲面呢？ 有的，那就是雙曲面。雙曲面的高斯曲率為負數。 神奇的是，雙曲面符合歐幾里得幾何學的前四項公理，卻不符合平行公理。 雙曲面上，過一直線L外一點，可以作無限多條與直線L不相交的直線。 雙曲面上，三角形的內角和小於180度。 補充：雙曲面上的三角形可參考https://imgur.com/pUKygBp.jpg
　　　圖中線段皆為直線 接著讓我們再回來看這個公式。雙曲面上， 　　1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC = K < 0 　　1 / R^2 < 0 因此，雙曲面可以視為半徑為虛數的球面！ 當然，這種講法很不嚴謹，甚至可以說是穿鑿附會， 請不要跟數學系的人這麼說，絕對會被他們電爆。 再來談一些雙曲面上有趣的事吧。 球面是一個大小有限，卻沒有邊界的曲面。 平面可以想像成半徑無限大的球面。 那麼，理應無限延伸的雙曲面有沒有辦法映射到平面上呢？ 有個東西叫做「龐加萊圓盤」，大概長得像這樣 https://imgur.com/NXbGTGa.jpg
龐加萊圓盤是一個定義在單位圓（座標平面上半徑為1的圓）的空間。 圓盤上的兩點距離，可以用微分式寫成 ds^2 = [4 / (1 - (x^2 + y^2))^2] (dx^2 + dy^2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 這項拿掉的話就是歐幾里得幾何學的距離定義 也就是說，圓盤上離原點越遠((x^2 + y^2)越大)， 那麼座標平面上微小距離(dx^2 + dy^2)所代表的龐加萊圓盤微小距離ds^2就越大。 而單位圓在龐加萊圓盤中所代表的，就是無限遠處。 上圖的龐加萊圓盤中有許多三角形，從圓盤的角度來看，這些三角形的面積皆相同。 但你從座標平面的角度看，越邊緣的三角形就越小，因為邊緣是無限遠處。 這就是當我們把雙曲空間映射到歐幾里得空間時的結果。 到這裡，終於可以回答問題了。 虛數空間是什麼？ 雙曲曲面當然不是虛數空間，但至少可以給我一點啟發。 我們可以把雙曲曲面想成是一個鑲嵌在第三軸為虛數之三維空間的球面。 （對，我承認我只是在穿鑿附會，數學系的拜託別來找我） 而當我們把雙曲曲面映射到座標平面上時，可以得到一個如龐加萊圓盤般， 有邊界，面積卻是無限大的單位圓。 （另一個例子是龐加萊半平面模型，有興趣者可自行google看看） 有邊界，卻又無限，代表著什麼？ 代表它可以像黑洞般吞噬一切。 就像EVA的狄拉克之海一樣。 至於Fate中，櫻的虛數魔術是什麼，由於我沒看過HF也不好回答。 但我猜它也是一種空間魔術，藉由雙曲空間與歐幾里得空間的映射關係，吞噬一切。 --- 題外話，Fate雖然有著科學與魔術截然不同的設定， 但我覺得Fate裡的魔術其實有不少科學的成分。 特別是準備要動畫化的二世事件簿。 舉例來說吧，庫丘林的刺穿死棘之槍號稱可以逆轉因果， 先刺中心臟，再完成投擲。 這我會想像成， 假設我們在一張紙、一個平面上，槍哥想從A點射到B點， 死棘之槍會先將這張紙折彎，透過第三維穿過B點。 但發生在平面上的事仍需遵守平面上的規則才行， 槍的軌道並沒有出現在這張紙上，故射穿心臟這件事並沒有實現。 故死棘之槍的下一步就是將這張紙再攤平，使槍的軌跡顯現在紙上，完成投擲。 這就是我想像中的死棘之槍，當然我不曉得蘑菇是不是這樣想啦。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.250.203.22 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1545260950.A.924.html
推
12/20 07:10, 5年前 , 1F
恩恩 我也是這樣想的
12/20 07:10, 1F
推
12/20 07:17, 5年前 , 2F
12/20 07:17, 2F
推
12/20 07:20, 5年前 , 3F
說的好 我也這麼覺得
12/20 07:20, 3F
推
12/20 07:26, 5年前 , 4F
你把我想講的都講完了
12/20 07:26, 4F
推
12/20 07:27, 5年前 , 5F
先推 以免別人說我看不懂
12/20 07:27, 5F
不要這樣嘛，我覺得我寫得很平易近人啊QQ 話說我忘了附ref.，文章中內容大都是從《数学ガール／ポアンカレ予想》抄的。 書名暫譯為《數學女孩／龐加萊猜想》，是數學女孩本傳的最新作。 我猜明年二三月左右會出版吧。
推
12/20 07:28, 5年前 , 6F
非歐幾何我並沒有啥涉獵，但從你第一行綠字開始，"球面上
12/20 07:28, 6F
→
12/20 07:28, 5年前 , 7F
的三角形"已經跟我們一般人認知的"三角形"是不同的東西了
12/20 07:28, 7F
→
12/20 07:29, 5年前 , 8F
甚至在我沒有去查定義之前 我根本不知道什麼叫做"球面上
12/20 07:29, 8F
→
12/20 07:29, 5年前 , 9F
的三角形"
12/20 07:29, 9F
推
12/20 07:30, 5年前 , 10F
嗯嗯，講的不錯，就是這樣
12/20 07:30, 10F
推
12/20 07:31, 5年前 , 11F
那的確是三條直線相交構成的圖形啊
12/20 07:31, 11F
→
12/20 07:34, 5年前 , 12F
等等 這裡不是西洽嗎 說好的金髮 傲嬌 偶像 二次元呢
12/20 07:34, 12F
大家聊聊天嘛
推
12/20 07:34, 5年前 , 13F
這就是另一個不直觀的地方：什麼叫做球面上的直線？
12/20 07:34, 13F
其實你可以想成， 球面上任兩點最短距離之連線，即為球面上的線段（唯一，符合第一公理）。 而線段在曲面上的延長，就是直線（符合第二公理），只是比較一般化的稱呼是測地線。 數學本來就很不直觀不是嗎XD
推
12/20 07:38, 5年前 , 14F
ㄟ 我不太同意數學很不直觀 只是不一定很直白而已
12/20 07:38, 14F
推
12/20 07:40, 5年前 , 15F
嗯嗯 英雄所見略同
12/20 07:40, 15F
推
12/20 07:41, 5年前 , 16F
わかります(才怪
12/20 07:41, 16F
推
12/20 07:43, 5年前 , 17F
直線應該是指在歐式空間的時候吧?所以我猜所謂球面上的
12/20 07:43, 17F
→
12/20 07:43, 5年前 , 18F
直線應該是指非歐式空間那條直線所呈現的方式?
12/20 07:43, 18F
→
12/20 07:43, 5年前 , 19F
那能算直線嗎?
12/20 07:43, 19F
→
12/20 07:44, 5年前 , 20F
我這樣問 只取球面其上兩點與對應的切面
12/20 07:44, 20F
→
12/20 07:44, 5年前 , 21F
成老梗的歐氏二維空間圓形
12/20 07:44, 21F
→
12/20 07:45, 5年前 , 22F
這樣的話看來就像個弧 弧算直線嗎?
12/20 07:45, 22F
首先，數學中「直線」、「測地線」都只是名詞，其意義是由定義決定， 跟你從外面看這條線直不直無關。 就像馬英九不一定長得像一隻馬一樣。 如果你要定義圓是一個空間，圓上的弧是直線，當然也可以。 （這時候原本的球就消失了） 不過光是這樣沒有意義，必須像歐幾里得幾何學那樣，定出幾個公理， 我們才能夠討論你定義的這個空間中的東西有什麼性質。 譬如說非歐幾何的雙曲空間符合歐氏幾何的公理一到四，所以可以討論出一些東西。
推
12/20 07:45, 5年前 , 23F
他應該是說兩點之間的"直線"是最在"定義球面上路徑長"之
12/20 07:45, 23F
→
12/20 07:45, 5年前 , 24F
後的最短路徑啦
12/20 07:45, 24F
→
12/20 07:45, 5年前 , 25F
我記得我最開始學圓形的時候是這樣說
12/20 07:45, 25F
推
12/20 07:46, 5年前 , 26F
很科普
12/20 07:46, 26F
→
12/20 07:47, 5年前 , 27F
寫的好
12/20 07:47, 27F
→
12/20 07:48, 5年前 , 28F
這個要重新定義直線/三角形/內角和欸
12/20 07:48, 28F
→
12/20 07:48, 5年前 , 29F
而且還要確認重新定義後的版本可以適用原本的性質
12/20 07:48, 29F
應該說，非歐幾何把原本的定義擴張了。 直線如同我前面所說，就是兩點間最短路徑連線的延長（符合第一第二公理）。 三角形就是三條直線交於三點形成的形狀。 （順帶一提，球面上還有由兩條直線組成的二角形，厲害吧） 三角形的內角和一樣是三個內角的和，只是不一定是180度。 這些名詞的定義都可以應用在球面幾何、歐氏幾何、雙曲幾何上。 所以其實並沒有整個改變定義，而是把定義擴張。 前幾天討論很熱烈的 zeta(-1) = 1+2+3+... = -1/12 也是一種定義擴張下的產物。 ~~~~~~~~~ 先說這個部分是錯的
推
12/20 07:48, 5年前 , 30F
啊就什麼都要重新定義啊
12/20 07:48, 30F
→
12/20 07:50, 5年前 , 31F
所以我看不懂 說實在
12/20 07:50, 31F
→
12/20 07:50, 5年前 , 32F
或者說 我多少看得懂想表達什麼 但非本科
12/20 07:50, 32F
→
12/20 07:51, 5年前 , 33F
需要更多的資料跟論文等等佐證
12/20 07:51, 33F
推
12/20 07:51, 5年前 , 34F
我"印象中"球面上兩點之間的最短路徑好像可以證明是過兩
12/20 07:51, 34F
還有 271 則推文
還有 33 段內文
→
12/20 14:41, 5年前 , 306F
所謂距離變為無限遠的單位圓是平面上的圓,跟圓盤的單位
12/20 14:41, 306F
→
12/20 14:42, 5年前 , 307F
圓是兩個不同的東西,之前搞混了
12/20 14:42, 307F
→
12/20 14:42, 5年前 , 308F
之前是搞不懂,憑什麼基於單位圓的圓盤上的兩點會是無限
12/20 14:42, 308F
推
12/20 14:50, 5年前 , 309F
有沒有數學系的能否證明是否存在一種將能將雙曲面轉換成
12/20 14:50, 309F
→
12/20 14:50, 5年前 , 310F
球面的轉換式XD?
12/20 14:50, 310F
推
12/20 15:17, 5年前 , 311F
先推免得別人以為我看不懂
12/20 15:17, 311F
推
12/20 15:21, 5年前 , 312F
感覺就是坐電梯的圓盤
12/20 15:21, 312F
推
12/20 15:25, 5年前 , 313F
蘑菇：度的，我就是這樣想的○
12/20 15:25, 313F
蘑菇快來找我加入型月世界
推
12/20 15:43, 5年前 , 314F
目前我們無法確定星體的絕對速度是多少，有的只是相對速
12/20 15:43, 314F
→
12/20 15:43, 5年前 , 315F
度，假設一下我們現在是以接近光速移動，根據相對論，
12/20 15:43, 315F
→
12/20 15:43, 5年前 , 316F
對於速度靜止的觀測者而言，我們現在只是一層薄膜，說是
12/20 15:43, 316F
→
12/20 15:43, 5年前 , 317F
2D人物也是可以的
12/20 15:43, 317F
嗯嗯跟我想的一樣，今天版眾們想的都差不多呢
推
12/20 15:57, 5年前 , 318F
推專業文
12/20 15:57, 318F
推
12/20 16:00, 5年前 , 319F
推一個
12/20 16:00, 319F
推
12/20 16:12, 5年前 , 320F
嗯嗯 完全理解，不過可以翻譯成中文嗎
12/20 16:12, 320F
推
12/20 16:16, 5年前 , 321F
到雙曲面就不行了 XD 前面好有趣
12/20 16:16, 321F
給你看看什麼是雙曲面，很直觀吧 https://imgur.com/pUKygBp.jpg
→
12/20 16:23, 5年前 , 322F
原來如此 可以用中文再說一次嗎
12/20 16:23, 322F
推
12/20 16:31, 5年前 , 323F
先推就對了
12/20 16:31, 323F
推
12/20 17:02, 5年前 , 324F
總覺得有點理解又沒有理解？？？
12/20 17:02, 324F
推
12/20 17:09, 5年前 , 325F
嗯嗯跟我想的一樣 不過我是用中文的角度來看
12/20 17:09, 325F
推
12/20 17:11, 5年前 , 326F
如果球面上有一種線, 相對於平面上的直線擁有的各種
12/20 17:11, 326F
→
12/20 17:12, 5年前 , 327F
性質, 都是完全有的, 那麼當然是直線. 不過問題是沒
12/20 17:12, 327F
→
12/20 17:14, 5年前 , 328F
有這樣的線. 如果球面上兩點可以穿透球面而連線, 也
12/20 17:14, 328F
→
12/20 17:17, 5年前 , 329F
好解. 不過要求是貼在球面上的線, 而貼在球面上的各
12/20 17:17, 329F
→
12/20 17:21, 5年前 , 330F
種線都欠缺了平面上的直線或多或少的性質, 那麼不論
12/20 17:21, 330F
→
12/20 17:23, 5年前 , 331F
選哪種線, 都不會跟平面上的直線一模一樣. 那麼, 選
12/20 17:23, 331F
→
12/20 17:24, 5年前 , 332F
出來的線究竟是不是直線? 這是一個哲學問題.
12/20 17:24, 332F
數學就是哲學，數學有自己定義直線的方式
推
12/20 17:52, 5年前 , 333F
謝謝 跟我的想法一模一樣
12/20 17:52, 333F
推
12/20 20:36, 5年前 , 334F
前面講的都是實數啊，後面才說到虛數，真的是一本正經
12/20 20:36, 334F
→
12/20 20:36, 5年前 , 335F
的胡說八道
12/20 20:36, 335F
沒錯，我的專長就是一本正經的胡說八道 ※ 編輯: dodomilk (111.250.203.22), 12/20/2018 22:00:11
推
12/20 22:55, 5年前 , 336F
第一頁前面哇嘎里罵斯 後面...
12/20 22:55, 336F
推
12/21 04:20, 5年前 , 337F
雙曲面三角形前都還懂，之後就是一連串黑人問號
12/21 04:20, 337F
推
12/22 08:53, 5年前 , 338F
嗯嗯，我懂，我也這樣覺得
12/22 08:53, 338F
→
12/24 15:40, 5年前 , 339F
我也是這樣想的欸 真巧
12/24 15:40, 339F
推
01/24 11:07, 6年前 , 340F
推文XDDDDDD
01/24 11:07, 340F
‣ 更多 dodomilk 的文章
文章代碼(AID): #1S6i-Maa (C_Chat)
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
以下文章回應了本文：
完整討論串 (本文為第 3 之 8 篇)：
排序： 最舊先 | 最新先 | 留言數
在新視窗開啟完整討論串 (共8篇)
‣ 更多 dodomilk 的文章
文章代碼(AID): #1S6i-Maa (C_Chat)