Re: [求助] 餘式定理 x^11除以x^2 + x + 1 的餘式
※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: x^11除以 x^2 + x + 1 的餘式
: 一般就是
: x^11 =( x^3 -1 ) q(x) +r(x)
: 3
: 兩邊令x = 1 代入
: 我不太懂 這是什麼觀念 或是什麼理論保證
: 這樣把左邊次數降下來 就是餘式了
: 兩邊的x^3 用1代入 左邊會變成 x^2 感覺怪怪的 雖然我知道x^11 =x^9 *x^2
: 然後再把x^3=1 代入 就會降成x^2了
這還可以用另外一種大學的觀點來解釋, {1, ω} 是佈於 |R 的向量空間
|R[ω] 的一組 basis, 其中 ω 是 x^2 + x + 1 的一個根.
由除法原理，可假設 x^11 = (x^2 + x + 1) Q(x) + ax + b, 其中 a, b in |R.
則命 x = ω 可得 ω^2 = 0 + (aω + b).
由恒等式 ω^2 = -ω - 1 知 -ω - 1 = aω + b, 由基底的定義知 a = -1, b = -1.
所以餘式是 -x-1.
註： 這題還可以用極小多項式 (minimal polynomial) 的概念加以推廣.
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