Re: [求助] 餘式定理 x^11除以x^2 + x + 1 的餘式

看板tutor作者austin1119 (最後。)時間15年前 (2011/01/30 22:15)推噓8(8推 0噓 3→)

留言11則, 10人參與討論串4/7 (看更多)

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言： : x^11除以 x^2 + x + 1 的餘式 : 一般就是 : x^11 =( x^3 -1 ) q(x) +r(x) : 3 : 兩邊令x = 1 代入 : 我不太懂這是什麼觀念或是什麼理論保證 : 這樣把左邊次數降下來就是餘式了 : 兩邊的x^3 用1代入左邊會變成 x^2 感覺怪怪的雖然我知道x^11 =x^9 *x^2 : 然後再把x^3=1 代入就會降成x^2了我們用一些大學數學的方法來看，為什麼可以這麼做也就是，不止知其然，同時更能知其所以然‥‥ 這也呼應了，為什麼教高中數學的老師需要了解大學數學很多大家習以為常的解法或方法，都是依賴了某些大學的數學理論首先，令x^11 =( x^2 +x+1 ) q(x) + ax+b (*) 因為 x^2+x+1 | x^3 -1 所以 x^3 -1 ≡ 0 (mod x^2+x+1) x^3 ≡ 1 (mod x^2+x+1) ___ _ 這裡可以直觀地想成在 F[x]/<x^2+x+1> 這個體裡面 x^3 等於 1 (x^2+x+1:irreducile，所以<x^2+x+1>是maximal ideal，所以F[x]/<x^2+x+1>是體 ) 也就是上述您所說的，x^3 用1代入，這個動作的原因 _______ _ 同時，x^2+x+1≡ 0 (mod x^2+x+1)，即 x^2+x+1 = 0 ____ _____________ _____ ___ 因此，x^11=(x^3)^3 * x^2 =1*x^2 = x^2 in F[x]/<x^2+x+1> ___ _ ____ ____ 可得，x^2 = 0 q(x) + ax+b ________ _ 即 x^2-ax-b = 0 ，即 x^2+x+1 | x^2-ax-b 可得a=-1，b=-1 _ 請注意，我們是考慮F[x]/<x^2+x+1>這個體裡面的元素，所以要加 (加霸) 解二:利用同餘性質的方法 x^3 -1 ≡ 0 (mod x^2+x+1) x^3 ≡ 1 (mod x^2+x+1) (x^3)^3 ≡ 1^3 (mod x^2+x+1) x^9 ≡ 1 (mod x^2+x+1) 又x^2 ≡ x^2 (mod x^2+x+1) x^9 * x^2 ≡ 1 * x^2 (mod x^2+x+1) x^11 ≡ x^2 (mod x^2+x+1) (1) 又 0 ≡ x^2+x+1 (mod x^2+x+1) (2) 由(1)(2) x^11 - 0 ≡ x^2 - ( x^2+x+1 ) (mod x^2+x+1) 即x^11≡ -x-1 (mod x^2+x+1) 意即，x^11除以 x^2 + x + 1 的餘式為 -x-1 ps也可以考慮: F[x] → F[x]/<x^2+x+1> 這個epimorphism 再加上一些代數性質來看以上供有興趣的老師們參考。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 175.180.124.13 ※ 編輯: austin1119 來自: 175.180.124.13 (01/30 22:16)

推

f12747

01/30 22:49, , 1^F

01/30 22:49, 1^F

推

Heumay

01/31 00:13, , 2^F

01/31 00:13, 2^F

推

kh749

01/31 02:54, , 3^F

01/31 02:54, 3^F