Re: [解題] 高二數學-圓錐曲線
※ 引述《Liuying (流螢)》之銘言：
: ※ 引述《jeromeshih (以謹慎態度來面對問題)》之銘言：
: : 4.題目：
: : a.在空間中,將連接(0,0,0)與(0,1,1)兩點的直線,繞z軸旋轉一周,形成一個直圓錐
: : 面Ω,則直圓錐面Ω與平面 y = 2 相交而得的圖形為
: : b.在空間中,將連接(0,0,0)與(0,1,1)兩點的直線,繞z軸旋轉一周,形成一個直圓錐
: : 面Ω,則直圓錐面Ω與平面 2y – z = 2相交而得的圖形為
: : 5.想法：
: : a.結果是雙曲線,可是是否有辦法用公式來驗證,因為從學生的角度來看
: : 雙曲線和兩個相同的拋物線似乎看起來相差不多(雖然方程式有差別)
: : 圓錐的方程式是否可以用 x_2 + y_2 = (ztanΘ)_2 來表示? 再把y值帶入求解?
: 這個方法超出高中範圍，而且要計算。通常這種題目都是在考空間感...
: : b.平面沒通過中心軸,會從圓錐截出一大一小的圖形,但這兩圖形的名稱
: : 是兩相異的拋物線嗎?(因為覺得不太像雙曲線)如果用a.的公式帶入卻和猜想
: : 有所出入,想問一下是否還有其他的想法,還是自己的觀念是錯誤的?
: 你的觀念是錯的。建議你把課本上的內容看一看。
: 平面只要和圓錐面的上下半部都有截痕的話，必定是雙曲線。
: 我的方法是去看yz平面，把正x軸朝向自己，這樣圖形比較單純。
: 直圓錐面就變成兩條直線，2y-z=2這個平面也看成一條線(L)，再去看三條線
: 的關係。
: 1.L與其中一條(母線)平行=>截痕為拋物線。
: 2.L與兩條線的交點一上一下=>截痕為雙曲線。
: 3.L與兩條線的交點都在上面或都在下面=>截痕為圓或橢圓
兩個向量
(0,0,1) => 圓錐的中心軸方向向量
(0,2,-1) => 平面法向量
使用內積 求得兩個向量夾角 ψ= arccos(-1/sqrt5)
ψ-90度 = 平面與正z軸的夾角 ≒ 26度
因為
(1) 26度 < 圓錐開口大小 45度
(2) 此面很明顯沒通過圓錐中心點
故
交圓錐的圖形為 雙曲線。
註
ψ角不見得必須實際算出來 畫個圖出來大概跟45度比較一下大小就可以了
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