Re: [解題] 高一數學
※ 引述《wenfeng (凡鳥)》之銘言：
: 1.年級：商職一年級
: 2.科目：數學
: 3.章節：1-3 高次方程式的解法
: 4.題目：
: (1) 請問3^11除以3^2+3+1的餘數是多少？
: (2) 求4x^3-16x^2-55x+175=0的實數根和。
: 5.想法：
: (1) 想用餘式定理解，但好像不行。
: (2) 想用整係數一次因式去找，但工程太大了，以乎不是人腦做的題目。
(1) 先做(x^11)除以(x^3-1) => 商(x^8+x^5+x^2) 餘x^2
=> (x^11) = (x^2+x+1)(x-1)(x^8+x^5+x^2) + x^2
=> (3^11) = (3^2+3+1)(3-1)(3^8+3^5+3^2) + 3^2
3^2 < 3^2+3+1 所以餘數就是9
(2) 這題的重點應該擺在 4x^3-16x^2-55x+175=0 是否有虛根
那我們就選擇用勘根定理來找實根的個數
令 f(x) = 4x^3-16x^2-55x+175
顯然 f(0) > 0
而又 f(x) = 4x^2(x-4) + 5(-11x+35)
顯然 f(4) < 0
最後 此多項式領導係數為正 x很大時必發散到正無限 i.e, f(10000000) > 0
所以 此多項式必為三實根
最後 套用根與係數的關係 三根和 = -(-16)/4 = 4
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