Re: [積分] 幾題積分

看板trans_math作者PaulErdos (My brain is open)時間14年前 (2011/10/09 20:15)推噓3(3推 0噓 0→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : ※ 引述《min102257 (暱稱)》之銘言： : : 三. : : 2n 2 : : 2 (n!) : : lim -------------- = ? : : n->00 (2n)! n^0.5 : : 答案是趨近無限大嗎? : 這是初微還是工數的...剛剛去查了Stirling's formula就秒殺了 : Stirling's formula 告訴我們 : n! : lim ─────────── = 1 令作 f(n) : n→∞ (2πn)^(1/2) * (n/e)^n : 不難證明 lim f(2n) = 1 (idea：n夠大，2n也夠大) : n→∞ : and lim (f(n))^2 = 1 (idea：x^2在x=1是連續的，極限可互換) : n→∞ : 考慮 (f(n))^2 / f(2n) : 消一消會發現剛好等於原題目/(π^(1/2)) : 而 (f(n))^2 / f(2n) → (1^2)/1 = 1 as n→∞ : 所以原題目 goes to π^(1/2) 很不幸地 1730年的Stirling公式正好就是用1665年的Wallis公式, 也就是本題來證明的 Proof of Wallis' formula: 當0＜x＜π/2 , 2n+1 2n 2n-1 0＜sin (x)＜sin (x)＜sin (x) 故 0＜ I ＜ I ＜ I 2n+1 2n 2n-1 π/2 n n+1 π/2 π/2 n-2 2 where I ＝∫ sin (x) dx ＝(-sin (x)cos(x))│ ＋(n－1)∫ sin (x) cos (x) dx n 0 0 0 ↖ ＝0 π/2 n-2 2 ＝(n－1)∫ sin (x) (1－sin (x)) dx 0 ＝(n－1) I － (n－1) I n-2 n n－1 n－1 n－3 ＝ ─── I ＝ ─── ─── I n n-2 n n－2 n-4 (n－1)!! π ──── ─ , n偶數 ( n!! 2 ＝｛ ( (n－1)!! ──── , n奇數 n!! 0＜ I ＜ I ＜ I 2n+1 2n 2n-1 => (2n)!! (2n－1)!! π (2n－2)!! ───── ≦ ───── ─ ≦ ───── (2n＋1)!! (2n)!! 2 (2n－1)!! 2n (2n－1)!! 2 ─── ≦ ( ───── ) nπ ≦1 2n＋1 (2n)!! (2n－1)!! 2 由夾擠定理, lim ( ───── ) nπ ＝ 1 n→∞ (2n)!! (2n)!! 2 1 也就是 lim ( ───── ) ─ ＝ π n→∞ (2n－1)!! n n 注意 (2n)!! ＝ 2×4×6×...×(2n)＝2 (n!) (2n)! (2n)! (2n－1)!!＝ ─── ＝ ──── (2n)!! 2^n (n!) => 2n 2 2 (n!) 2 1 lim ( ──── ) ─ ＝ π n→∞ (2n)! n 兩邊開根號 2n 2 2 (n!) ＿ lim ────── ＝ √π n→∞ (2n)! √n -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.233.127 ※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.233.127 (10/09 21:04)

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ntust661

10/09 21:15, , 1^F

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※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.233.127 (10/09 22:13)

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lovehan

10/09 23:05, , 2^F

10/09 23:05, 2^F

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TaiBeiGuo

10/10 16:55, , 3^F