Re: [積分] 幾題積分
※ 引述《smartlwj (要準備資格考)》之銘言：
: ※ 引述《filezilla (filezilla)》之銘言：
: : 請高手幫忙解答一下
: : ∫ (x^2 - y^2)dx + (x^2 + y^2)dy
: : ^^ 循環積分c 打不出來...(0,0) (1,0) (1,1) (0,1) 包圍的區域
: : ∫ sinx/x dx ∞~ -∞
: 這題是經典題了
: 去數學版精華區爬文就有一堆討論
: : ∫ (sinx)^2/x^2 dx ∞~ -∞
: ∞ sinxcosx ∞ (1/2)sin2x ∞ sin2x
: 首先考慮 ∫ ----------dx = ∫ ------------dx =(1/2)∫ -------d2x
: 0 x 0 x 0 2x
: = (1/2)*(π/2) = π/4
: 接下來對上面的式子做 integral by part 2
: ∞ sinxcosx ∞ sinx sin x ∞ ∞ sinx
: ∫ ---------dx = ∫ ------ dsinx = -------| - ∫ sinx d ------
: 0 x 0 x x 0 0 x
: 2 2
: ∞ xsinxcosx-sin x ∞ sinxcosx ∞ sin x
: = -∫ ----------------- dx = -∫ ----------dx + ∫ -------dx
: 0 x^2 0 x 0 x^2
: 2
: ∞ sinxcosx ∞ sin x
: => 2∫ ----------dx = ∫ -------dx
: 0 x 0 x^2
: 2
: ∞ sin x π
: =>∫ ------ dx = 2 * (π/4) = ----
: 0 x^2 2
: 所以 2
: ∞ sin x π
: ∫ ------dx = 2 * ---- = π
: -∞ x^2 2
: 有錯請指正
: : 謝謝~~
這方法很猛...不過也要先會第一題的答案~
小弟我提供一個微方的方法 兩題都可以解^^"
∞ (sinx)^2 ∞ sin2x ∞ sin2x
∫ ------ dx = ∫ ----- dx = 2 ∫ ------- dx
-∞ x^2 -∞ x 0 x
∞ exp(-tx) sin2x
f(t)= ∫ ---------------- dx
0 x
∞
f'(t) = ∫ - exp(-tx) sin2x dx = - 2 /(t^2 + 4 )
0
-1
f(t) = -2 * (1/2) * tan (t/2) + C
-1
= -tan (t/2) + C
f(∞) = 0 = - π/2 + C => C = π/2
-1
f(t)= - tan (t/2) + π/2
原 = 2f(0) = π
這方法最麻煩應該是在作 f'(t) 吧 ...
不過 好像不少考生 都會硬背那公式XD
如果有背 這題真的不用兩分鐘...
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12/15 14:01, , 1F
12/15 14:01, 1F
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