Re: [微分] 幾題微分的應用

看板trans_math作者 (疾風影)時間14年前 (2011/05/17 20:18), 編輯推噓8(8推 0噓 45→)
留言53則, 2人參與, 最新討論串4/4 (看更多)
※ 引述《mic790909 (阿翰)》之銘言： : ※ 引述《iamOsaka (歐沙卡)》之銘言： : : 以下幾題小弟怎麼算都錯，請版上高手解惑，感激不盡！ <(_ _)> : : 1. 半徑為R cm的球形碗，以每秒a cm^3的速率注入水， : : 求在水深高度為y=R/2時，水面上升的速率？ 解：4a/3π(R^2)(cm/sec) : : 2. 某球體內充滿氣體，今氣體以2 ft^2/min的速率溢出， : : 求當球體半徑為12ft時，球表面積減少之速率？　解：-1/3 (ft^2/min) : : 3. 某等腰三角形兩邊之長均10公分，而其夾角為θ，以知θ每分鐘增加2°， : : 試求夾角為30°時，該三角型面積的變率？ 解：5(3)^(1/2) π/18 : 我也跟原PO一樣 第一題怎麼算都錯 : 根據王X微積分內的解法 當水深y時體積為V(y)=π(Ry^2-(1/3)y^3) : 所以當y=R/2時 體積應為(5/24)πR^3 : 此時dv/dt=a=(dR/dt)(5/8)πR^2 ， dR/dt=8a/5πR^2 : 所以題求水面上升速率應該是dy/dt=(1/2)dR/dt=4a/5πR^2 : 但與答案不同，想請問一下板上高手 : 我這樣的解法錯在哪裡?是哪邊的觀念有問題呢? : 謝謝~! 剛看了一下題目 拿起筆算了一下 發現你的V(y)有問題 如果你是直接套用書上的公式 可能是打錯字 恩 V(y) 應該改為 π[R*R*y - (1/3)* (y^3)] 然後應該就可以得到答案了 下面提供我的作法: 在紙上畫一個上半圓 原點定為 上半圓的最左側 利用旋轉體可得 V(h)=∫(y*y*π)dx (from 0~h , y = (R^2-x^2)^1/2 ) dV dh | 已知 ---- = a ; 求 ---- | R = ? dt dt |h = --- 2 dV ---- = (R^2-h^2)*π (微積分基本定理，注意符號!) dh dh dh dV 1 ---- = ---- ---- = ------------ * a dt dV dt (R^2-h^2)*π put h = R/2 , we get dh | aπ 4 ---- | = ----- * --- dt　|h = R/2 R^2 3 恩 ，大概是如上 如果有更好的方法或錯誤 請其他大大分享指教囉 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.34.122.244
推
05/17 20:22, , 1F
感謝這位大大，但是V(y)應該沒有錯
05/17 20:22, 1F
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05/17 20:22, , 2F
而之前有一篇解答用不同方法算過 答案
05/17 20:22, 2F
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05/17 20:24, , 3F
也是4a/3piR^2
05/17 20:24, 3F
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05/17 20:25, , 4F
阿 似乎只有最後步驟計算錯誤 拍謝
05/17 20:25, 4F
推
05/17 20:37, , 5F
算了多次v沒錯 能請r大列一下你算的過程
05/17 20:37, 5F
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05/17 20:37, , 6F
嗎? 或許我連算體積都有問題@@ 麻煩了!
05/17 20:37, 6F
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05/17 20:45, , 7F
你的V(y) 是怎麼得到的?
05/17 20:45, 7F
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05/17 20:46, , 8F
因為你說根據別人的做法 所以我不太知道
05/17 20:46, 8F
推
05/17 21:12, , 9F
我是算一個平面半徑為R^2-(R-y)^2開根號
05/17 21:12, 9F
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05/17 21:13, , 10F
平面面積為pi*R^2-(R-y)^2 再對Y軸積分
05/17 21:13, 10F
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05/17 21:14, , 11F
積分範圍從0~y所以得到V(y)的式子這樣@@
05/17 21:14, 11F
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然後從你所說的 對Y軸積分 出來好像不是你
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打得式子喔
05/17 21:21, 13F
推
05/17 21:31, , 14F
平面面積是pi*(R^2-(R-y)^2)才對 沒打清
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05/17 21:33, , 15F
楚抱歉 而5/24(piR^3)是代y=R/2的結果
05/17 21:33, 15F
有辦法"詳細"說明一下 你的V(y)的得出方法嗎? 1. 你的平面長甚麼樣子 2. 你對y軸積分的式子 因為可能我們所說的有點落差 為了盡快找到你的問題 很明顯地你唯一的問題就是v(y)的式子 ※ 編輯: rygb 來自: 114.34.122.244 (05/17 21:40)
推
05/17 21:45, , 16F
好的 謝謝r大那麼有耐心@@ 我是用補習班
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05/17 21:47, , 17F
所教的圓盤法 將球切為許多片圓形 而因
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為半徑為R 當假設水深為y時 所切的小片
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05/17 21:49, , 19F
圓形半徑就為R^2-(R-y)^2 再開根號
05/17 21:49, 19F
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所以小片圓形面積就為半徑平方再*pi
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半徑平方就等於上述式子不開根號
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05/17 21:52, , 22F
故所得小片圓形面積為pi*(2Ry-y^3) 再
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05/17 21:53, , 23F
對y做積分 则當假設水深為y時得到V(y)
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05/17 21:54, , 24F
而pi*(2Ry-y^3)對y積分為Ry^2-(1/3)y^3
05/17 21:54, 24F
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05/17 21:55, , 25F
再乘以pi 就是我寫的V(y)了
05/17 21:55, 25F
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05/17 21:56, , 26F
以上就是我對V的求法 麻煩r大指教@@
05/17 21:56, 26F
看來詳細說明後 是小的不才= = 原本以為是你積分過程的問題 其實你的V(y)也是對的 而且.. 我用你的V(y) 也得到 書上的答案 回頭檢視 dr 那---- 是? dt ※ 編輯: rygb 來自: 114.34.122.244 (05/17 22:00)
推
05/17 22:04, , 27F
嗯@@ 那就是我求面積沒錯 但這題過程做
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05/17 22:04, , 28F
錯了 我的dr/dt 是由v對t微分後 得到
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05/17 22:06, , 29F
(5/8)piR^2(dR/dt) 是由y代R/2所得
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05/17 22:07, , 30F
V=? v=?
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05/17 22:07, , 31F
而dv/dt=a=(5/8)piR^3(dR/dt) 所以得
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05/17 22:08, , 32F
V是我一開始寫的那式子V(y)
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05/17 22:09, , 33F
所以小v是流速?
05/17 22:09, 33F
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05/17 22:10, , 34F
dR/dt=(8a)/5piR^2 而當y=R/2時 dy/dt=
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05/17 22:10, , 35F
沒有小v@@ 我的V都是V(y)
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05/17 22:12, , 36F
dy/dt=(1/2)dR/dt=(1/2)*[(8a)/5piR^2]
05/17 22:12, 36F
※ 編輯: rygb 來自: 114.34.122.244 (05/17 22:13)
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05/17 22:14, , 37F
呃 不太懂 V是體積 dV/dt是每秒注入a
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05/17 22:15, , 38F
所以我怎麼求答案都應該是(4a)/5piR^2
05/17 22:15, 38F
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05/17 22:15, , 39F
才對@@
05/17 22:15, 39F
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05/17 22:16, , 40F
晚上腦子有點亂= = 原諒我
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05/17 22:16, , 41F
不會 我比較不好意思
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05/17 22:16, , 42F
問題在.. 變數和常數
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05/17 22:17, , 43F
因為你先把y值帶進去了
05/17 22:17, 43F
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05/17 22:18, , 44F
除此之外 R 一直是半徑 你裝水時 R=CONST.
05/17 22:18, 44F
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05/17 22:19, , 45F
dR/dt = 0 .. f'(y) 和 f'(y=0) 有很大的不同
05/17 22:19, 45F
推
05/17 22:20, , 46F
阿 所以我算體積時y應該代R/4? 我算一下
05/17 22:20, 46F
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05/17 22:21, , 47F
不是= = 是說你應先求dv/dy 再帶入該點y值
05/17 22:21, 47F
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05/17 22:21, , 48F
好像不是 我再想一下 不好意思@@
05/17 22:21, 48F
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05/17 22:23, , 49F
不能先帶入y值 在求其微分值
05/17 22:23, 49F
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05/17 22:23, , 50F
因為先帶入在微分 相當於 你微分常數
05/17 22:23, 50F
推
05/17 22:28, , 51F
阿阿阿 我懂了!! 耶! 謝謝r大 麻煩你那
05/17 22:28, 51F
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05/17 22:29, , 52F
麼久 不好意思 感恩!!~
05/17 22:29, 52F
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05/17 22:29, , 53F
不會 ， 我誤解你意思 耽誤時間 :P
05/17 22:29, 53F
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文章代碼(AID): #1DqcUbLO (trans_math)
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