Re: [微分] 幾題微分的應用
※ 引述《iamOsaka (歐沙卡)》之銘言：
: 以下幾題小弟怎麼算都錯，請版上高手解惑，感激不盡！ <(_ _)>
: 1. 半徑為R cm的球形碗，以每秒a cm^3的速率注入水，
: 求在水深高度為y=R/2時，水面上升的速率？ 解：4a/3π(R^2)(cm/sec)
設此碗的側投影圓在x-y平面上，
圓方程式為x^2+y^2=R^2，此時水面從y=-R開始上升，上升速率為dy/dt
由於是立體，切水平薄圓盤為微元素，此薄圓盤體積dV=πx^2dy，兩邊對t微分
dV/dt=πx^2(dy/dt) 代入x^2=R^2-y^2=R^2-(R/2)^2，dV/dt=a
得dy/dt=(4a/3π)R^2
: 2. 某球體內充滿氣體，今氣體以2 ft^2/min的速率溢出，
: 求當球體半徑為12ft時，球表面積減少之速率？ 解：-1/3 (ft^2/min)
切薄球殼為微元素，此薄球殼體積dV=πr^2dr，兩邊對t微分
dV/dt=4πr^2(dr/dt) 代入dV/dt=-2 得dr/dt=-1/(2πr^2)
求表面積A=4πr^2，兩邊對t微分，dA/dt=(4πr^2)/dr * dr/dt (chain rule)
得dA/dt=8πr[-1/(2πr^2)]=4/r，代入r=12 得dA/dt=-1/3
: 3. 某等腰三角形兩邊之長均10公分，而其夾角為θ，以知θ每分鐘增加2°，
: 試求夾角為30°時，該三角型面積的變率？ 解：5(3)^(1/2) π/18
三角形面積=(1/2)*10*10*sinθ，這題留給你，記得θ要使用徑度為單位
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◆ From: 218.170.59.143
推
03/10 16:33, , 1F
03/10 16:33, 1F
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