Re: [微積分] 幾題求近似值 不知道怎麼做？
※ 引述《s9321312 (小凱)》之銘言：
: ∞ 1
: 1.計算級數 Σ ---- 的近似值
: n=1 n!
: ∞ sinx
: 2.計算級數 ∫ ------ dx 的近似值
: 0 x
: ∞ (-1)^(n+1)
: 3.計算級數 Σ ------------ 的近似值
: n=1 n
: ∞ n^n ∞ 2^n ∞ 1
: 4.已知 (a) Σ ----- (b) Σ ----- (c) Σ --------------
: n=1 n! n=1 n! n=1 √(n^2+7n-1)
: ∞ |sinx|
: (d) ∫ --------dx
: 0 x
: 判斷(a)(b)(c)(d)之值 其值有限的有機個 請說明理由 ？
: 總共四題 不好意思 問了這麼多題 希望大家可以幫忙 謝謝
4. (a)
n^n (n+1)^(n+1)
令 a_n = ----- , 則 a_(n+1) = -----------
n! (n+1)!
a_(n+1) (n+1)^n
------- = -------
a_n n^n
(n+1)^(n)
r = lim ---------
n→∞ n^n
n + 1
= lim (-----)^n
n→∞ n
1
= lim (1 + ---)^n
n→∞ n
1
= lim (1 + x)^(---)
x→0 x
1
(令 x = --- , 則當n→∞時 , x→0)
n
1
= lim e^(ln((1+x)^(---)))
x→0 x
1
= e^(lim ln((1+x)^(---)))
x→0 x
ln(1+x)
= e^(lim -------)
x→0 x
1/(1+x)
= e^(lim ---------) = e > 1
x→0 1
由比值測試法得知
∞ n^n
Σ ----- 發散
n=1 n!
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