Re: [極限]中興93兩題
※ 引述《coolbaby119 (小屈)》之銘言：
: 1.
: 1
: ∫ (x^(1/2) / 1+x^(1/3) )dx
: 0
: 我是令y^6=x dx=6 y^5 dy
: 可是之後變成
: 1
: 6∫ (y^8) / (1+y^2) dy
: 0
: 就哭哭了Q_Q
簡單代數而已! 難道國中代數都忘了?
1 0 0 0 0 | -1
-1 1 -1 1 |----
----------------
1 -1 1 -1 |_1
故
y^8/(1+y^2) = y^6-y^4+y^2-1 + 1/(1+y^2)
或
y^8 = (y^8-1)+1 = (y^2+1)(y^6-y^4+y^2-1) + 1
: 2.lim (sin(x)/x)^(1/x^2)
: x->0
: 我把他化成exp^ln(sin(x)/x)^(1/x^2)
: ln(sinx/x) (cosx˙x -sinx)/x^2 cotx˙x-1
: ----------- > ------------------ >上下同除sinx> ------------>取極限等於零
: x^2 2x˙sinx/x 2˙x^2
: 所以答案是 1
(1) 最後極限怎麼來的?
(2) "同除以 sin(x)", 不是 "同除 sin(x)", 而且,
"sin(x)" 不要寫成 "sinx".
ln(sin(x)/x) ln(|sin(x)|) - ln|x|
-------------- = ----------------------
x^2 x^2
cot(x) - 1/x x cos(x) - sin(x)
～ --------------- = -------------------
2x 2x^2 sin(x)
再用一次 L'Hopital's rule, 然後利用 sin(x)/x→1.
此題答案, 依上列方法是 e^{-1/6}. 另法,
sin(x) = x - x^3/6 + O(x^5)
故
(sin(x)/x)^{1/x^2} = (1-x^2/6+O(x^4))^{1/x^2}
→ e^{-1/6} 當 x→0.
最後的極限可用夾擠定理證明之.
: 請幫我看看我第二題這樣算有沒有錯
: 第一題麻煩指導一下
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推
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