Re: [請益] 證明a=b,then b=a

看板logic作者susophist (窄宅)時間12年前 (2013/12/18 03:03)推噓0(0推 0噓 6→)

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※ 引述《MathTurtle (恩典)》之銘言： : ※ 引述《chantaltw (nous)》之銘言： : : 這是台大邏輯考古題 : : 題目是:使用推論規則證明 a=b /then b=a : : 我不太有頭緒要從哪證明起...... : : 念數學的人說，要證明這個，要先知道a=b和b=a有不同 : : 但根據定義，它們是相同的。所以如果他要證明，答案很可能是"根據定義"。 : : 但哲學系應該不太會這樣子證明(?) : : 所以來請教大家，你們的想法。^^ : 嗯, a=b 和 b=a 的確不同, 一個是 'a' 在前面, 一個是'b'在前面。 : 在一般的述詞邏輯裡面, 如果有 '=' 這個述詞, 通常給的 axioms 只有下面兩條: : (1) for all x, x=x : (2) for all x for all y, if x=y, then Fx iff Fy : 也就是只有 reflexivity 和 Leibniz's Law, 並不包含 a=b和b=a要等價。 : 至於證明的話, 就是要從 (1)和 (2) 推出 a=b, therefore b=a : 1. a=b Ass. : 2. a=a (1) UI : 3. if a=b then a=a iff b=a (2) UI : 4. a=a iff b=a 1, 3 MP : 5. if a=a then b=a 4 'iff' : 6. b=a 2, 5. MP 自反性(reflexivity, "(x)Rxx")不是「等同性」，雖然，「等同性」是自反性的一種，另一個自反性的例子是：__是__的子集合。萊布尼茲等同律(LL)，包含有「等同性」的內容之外，多了，對事物「性質」的討論，萊布尼茲等同律是「二階邏輯」，它對「性質」(述詞, e.g. 'F')進行了量限： LL: (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] 事實上它包含兩個部分： (x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)]，「等同項之不可分辨律」，這是你用的公設(axiom)； (x)(y)(F) [(Fx≡Fy) → x=y]，「不可分辨項之等同律」。註：這在哲學界有爭議您的證明中，「Fx」用「x=a」代入，怪怪的；這似乎，不是邏輯上合法的(代入)規則。若用LL證明，其步驟如下： 1(1) a=b P. premise 2(2) ┐(b=a) A. assumption (3) (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] LL. (4) a=b ≡ (Ga≡Gb) (3) x/a, y/b, F/G 「/」表示，用__代入 (5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G 1(6) Ga≡Gb (1), (4) MP 前斷律 1(7) (Ga→Gb) & (Gb→Ga) (6) '≡' equivalent 等同律 1(8) (Gb→Ga) & (Ga→Gb) (7) '&' commutation 交換律 1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent 1(10) b=a (9), (5) MP 1,2(11) b=a & ┐(b=a) (10), (2) Conj 連言律 1(12) b=a (2)-(11) IP (矛盾)歸謬法 Q.E.D. 註：項式前面的號碼('1'or'2'or'1,2')係「前提號碼」，「空格」代表空集合、表示「從邏輯定理而來」；述詞邏輯的推導證明，用前提號碼來標示：結論「純」由前提而來，以避免UG、UI、EG、EI之不合法的代入/量限化使用。以上，謝謝。參考資料： http://www.scu.edu.tw/philos/97class/97-2%20peng/L-logic/12.pdf (彭孟堯講義) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.118.67

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我沒說「他說」自反性就是等同性。

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