Re: [請益] 證明a=b,then b=a

看板logic作者zoneline (人來人往)時間10年前 (2013/12/22 05:54)推噓0(0推 0噓 11→)

留言11則, 2人參與討論串7/13 (看更多)

我還是再回一篇好了。 : 很抱歉，不是很懂您回的內容，感覺有些其他的問題在裡面，似乎可以寫得更清楚或聚焦 : 些；我試著整理看看：根據「完構語句」(wff, well form formular)的規則，從「公理句 : 式」(axiom schema)可以得到「公理」(axiom)，只要，該公理句式是「邏輯真」的語句， : 也就是，無須前提即可自我證明/推導的語句；而(2):"for all x, for all y, if x=y, : then Fx iff Fy"，雖少寫了「述詞量詞」('for all F')、不成「完構語句」，但由於它 : 的個例們可來自「公理句式」，所以仍是個「公理」，「Fx」用「x=a」代入，是其中的一 : 個個例。為了避免再誤解，我直把將(2)寫成 (2) ∀x∀y(x=y → (φx ↔ φy)) 這就很清楚，「φx」和「φy」不是一階述詞邏輯的 wff ，「φ」不在一階述詞邏輯的vocabulary裡。為了說明，現規定「Fx」和「Rx」是這套邏輯裡的述詞符號，因此 (2a) ∀x∀y(x=y → (Fx ↔ Fy)) (2b) ∀x∀y(x=y → (Rx ↔ Ry)) 這兩個才是述詞邏輯裡的 wff 。(2)在系統內沒有真假值，(2a)和(2b)在系統內才有真假值，把(2)當作axiom schema意思就是：將(2)的「φ」換成任何述詞符號，出現的 wff ── 包括(2a)和(2b) ── 都是axiom。（Hunter的表達方式不同，但涵蓋這個意思）我不知道你要我給哪個東西「邏輯上」的證明，也不清楚你要求的「邏輯上的證明」是甚麼意思。如果你是要我在系統內證明(2)是 true in all interpretations ，我做不到，因為沒有 interpretation 可以 assign 真假值給 (2)。如果你是要我給一個後設證明，證明「(2)的所有個例都是 true in all interpretations ，那你直接看 Hunter 的 Metalogic p.200 比較快。 : 我的意見為，參考所上老師的講法，「等同項不可分辨律」(LL1: (x)(y)(F) [x=y → : (Fx≡Fy)])屬二階邏輯，述詞量詞「(F): for all F」是可用「=a」代入的，因為「等同 : 」也是一個「性質」(除非某人認為等同不是一個性質)，只不過，代入後，「Fx」便是個 : 「二位述詞」(two-place predicate)，理由是，「x=a」有兩個元項(instances/entities : )，這是後話；萊布尼茲等同律(LL)是二階邏輯句，二階邏輯是「不完備的」，表示，並非 : 所有的二階邏輯公理(或定理)都「必定有」邏輯的證明，所以用LL證明「a=b, therefore : b=a」有疑慮，而，這也關連到要問您的問題：您說(2)、或(2)的「axiom」，是「公理的 : 句式」(schema)、或「公理句式」(axiom schema)，可以給(邏輯上的)證明嗎，說某句子 : 是個公理(axiom/axiom schema)，一定可以給出「證明」吧。你要在系統內寫出 indiscernibility of identicals ，那當然是用二階邏輯寫。問題是(2)本來就不是要在系統內寫出 indiscernibility of identicals ，而是要根據 indiscernibility of identicals 劃分出某一些 wff 是 axiom ，例如(2a)和(2b)是 axiom。我覺得你可能是還沒分得出 axiom 和 axiom schema ，才會感到混淆，而且看不出數龜簡化了甚麼（我是憑他過往的發言素質認為他是故意簡化，不知道他本人意思如何）。我不覺得他的寫法有「失邏輯的嚴謹性」這麼嚴重，因為他就只是把(2)叫做「axiom」，而不是叫做「axiom schema」而已。他用(2)的時候還是沒有用錯。這點我沒有能力再解釋。我提到的書，其實都有電子檔，你可以輕易在網上找到，如果你想要網址，可以聯絡我（我不太會用bbs，應該有水球功能？）。 : 其實，證明「a=b, therefore b=a」不必「萊布尼茲等同律(LL)」。先舉個類似的證明： : 1(1) Ha P1 : 2(2) a=b P2 : 1,2(3) Hb (1), (2) I(law of identity) Q.E.D. : 同樣地(I: law of identity)，證明「a=b, therefore b=a」： : 1(1) a=b P. : (2) a=a I : 1(3) b=a (2), (1) I Q.E.D : 註：這是問過趙之振，認為可以的證明。 : (參考資料：林正弘，《邏輯》，三民，頁373-389、尤其381) : ◎後記：感覺像是繞了一圈，原來證明這樣地直接。 : 以上，謝謝。最後，你用 Law of Identity 作為規則來證明「if a=b then b=a」。如果系統內有這條規則，那你是可以很簡單證出沒錯。但其實 Law of Identity 是甚麼規則？你只舉了一個例子，沒有真正指出你在用的是甚麼規則。如果嘗試陳構那條規則，我覺得你會發現它原理上就是數龜寫的(2)。我這樣寫，你看是不是你心目中的意思（我現在的環境不方便找林正弘的《邏輯》）： Law of Identity：假設推論上有某一行出現 x=y ，而且有一行出現 φx ，那就能透過此規則在接下來寫 φy （更general的寫法：由 x=y 和 ψ 可推論 ψ[x/y]。 ps. ψ[x/y] 是將 ψ 裡任意數量的 x 換成 y 所形成的 wff）但是這個推論規則，不正是 (2) 的意思嗎？（turnstile的位置移掉，但應該可以由converse deduction theorem證明） -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 123.203.211.20

→

susophist

12/22 06:13, , 1^F

12/22 06:13, 1^F

→

susophist

12/22 06:14, , 2^F

12/22 06:14, 2^F

→

susophist

12/22 06:15, , 3^F

12/22 06:15, 3^F