Re: [請益] 反證法

看板logic作者MathTurtle (恩典)時間12年前 (2011/12/26 03:53)推噓0(0推 0噓 20→)

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※ 引述《Favonia (小西風最乖了*^^*)》之銘言： : : *反過來說*, ~P 是前提. 這「反過來說」的跳躍應該不大. : 這個「反過來說」之所以成立，我覺得跟排中原理比較有關。 : （邏輯系統牽一髮而動全身，感覺很難定義什麼叫做跟某某原理有 : 關... orz）正如 intontu 所說，古典邏輯如果用一般的自然演繹 : 系統寫出來，反証法的基礎之一是排中原理。爆炸原理不一定每個 : 邏輯系統都成立一樣，同樣的，排中原理也不是每個系統都成立。這裡讓我想了很久。究竟反証法與排中律以及explosion之間的關聯是什麼? 我覺得這是一個很難的問題, 因為比較常見的像是直覺邏輯或許多的relevant logic系統是三者都不成立, 而其它非古典邏輯是三者都成立, 所以很難想像它們的差別在哪。 paraconsistent logic 是針對 explosion 而來 (即 P & ~P |- Q) 而通常因為拒絕了 explosion, 就很自然要拒絕 RAA 因為從 RAA 很容易可以導出 explosion (只須加上 weakening rule A |- B ->A) [假設 RAA (比較強的那種, 即 ~P -> (Q&~Q) |- P), 假設我們現在有矛盾 Q&~Q 由 weakening 我們得 ~P -> (Q&~Q), 因此有 P, 得證 ] 但排中律呢? 所以我在想, 有沒有可能有一個邏輯系統是包含排中律, 但卻沒有 explosion 或是 RAA 的? explosion這部份比較容易想, 因為 Priest 的 paraconsistent logic 好像就可以是這樣的一個系統。而 RAA 則是要看你是哪一個版本的, 大致上我們可以區分四種強弱不等的 RAA: RAA1 ~P -> (Q&~Q) |- P RAA2 P -> (Q&~Q) |- ~P RAA3 ~P -> P |- P RAA4 P -> ~P |- ~P 我稍微做了一下, 找到這個系統是 Excluded middle成立, 但是 explosion 和 RAA1, RAA2 都不成立的。比較簡單的講可以用以下的三值邏輯給出語義: ~| &|1 ? 0 or|1 ? 0 ->|1 ? 0 ----- --------- ---------- ----------- 1|0 1|1 ? 0 1|1 1 1 1|1 ? 0 ?|? ?|? ? 0 ?|1 ? ? ?|1 ? ? 0|1 0|0 0 0 0|1 ? 0 0|1 1 1 然後 designated value 是 {1, ?} Excluded middle 會成立是因為 P or not P 會是 1或是?, 因此成立。 explosion不成立是因為當 Q 是 ? 而 P 是 0 時, (Q&~Q)|=P 會是 ?|=0 故不成立 RAA1和RAA2也是同樣地, 在 Q=? P=0 時會是 ?|=0 而不成立。不過缺點是在這系統中, RAA3和RAA4仍然會成立就是了。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 86.27.186.91

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