Re: [心情] 市售的歷屆試題讓我很無言
不好意思，又回了一篇。
不過用意並不是要追打，很明顯沒有那個必要...
但覺得那個極限問題有一些東西可以分享給板友。
f(3x)－f(sin(x))
對於題目 f'(0)＝a，求 lim ────────
x→0 x
首先分析這題使用羅必達：
lim f(3x)-f(sinx) 0
x->0 -------------- (---)
x 0
=lim f'(3x)*(3x)' - f'(sinx)*(sinx)'
x->0 --------------------------------- (羅畢達定理)
(x)'
為什麼會說羅必達的條件是要 f 在 x＝0 的「附近」可微呢？
這原因其實是非常簡單的：
因為你上下各自微分以後
3f'(3x)－cos(x)f'(sin(x))
你就改求 lim ────────────── 這個極限，
x→0 1
我們學習極限的時候，不是一再強調嗎？
取極限是無關乎 x＝0 本身的。
所謂的當 x→0 時, y→L，
是 x 由 0 的附近去趨近到 0 ，然後觀察 y 的趨勢。
所以你現在要求的這個極限，
是 x 由 0 的附近去趨近到 0 ，然後觀察 3f'(3x)－cos(x)f'(sin(x)) 的趨勢。
話都已經這麼說了，那豈不是 f 須在 x＝0 的附近可微？
不然，f'在 x＝0 的附近不存在，你要怎麼做到 x→0 ？
＿
同場加映: lim √x 沒有所謂的左極限等於右極限
x→0 ＿
因為√x 的定義域並不含 x＜0 的部份
那你要怎麼左極限？
之所以說左極限等於右極限
其實 x 是要趨近到定義域的內點
這種剛好趨近到邊界的並不適用
再來，即使無視前提，做下去了，
其實最後應該是做到
＝ lim 3f'(3x)－cos(x)f'(sin(x))
x→0
而不會做到
＝ 3f'(0)－f'(0)
理由已述，那是對極限與連續的概念不清楚的人，
才會在求極限時亂代。請記住：
極限值 不等於 函數值
↖
概念上的不等於 不是說恆不相等
為什麼我們初學極限時，代得亂七八糟？
那是因為教材先給你連續函數暖暖身。
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我一開始看到此題時，也感到疑惑，
既然用羅必達錯得離譜，那麼何以錯得離譜的方法，
所得「答案」竟會一樣？
你所轉述的，王老師的結論，實在讓我大感詫異，
他怎麼會覺得其實 f 是在 x＝0 附近可微、f'在 x＝0 處連續呢？？？
這已經不是數學能力問題了，我想這大概是國文能力問題....
題外話...去年在批改國小數學競賽的考卷時，
身旁幾個強大的教授就在聊天說：
其實國文好的人，數學也不會差到哪裡去；
但是數學好的人，國文不一定會好，像這個(指作答者)就很爛。
我聽了以後實在大感認同....
題目只給f'(0)＝a 的情況之下，就要你求那個極限，
那意思當然是說，只要 f 在 x＝0 處可微，
無論 f 在 x＝0 的附近是可不可微、f'在 x＝0 連不連續、
乃至其它有的沒的碗糕條件.....
不管，無論如何這個極限值都一樣！
2 2 2
作個比喻的話就像是所有直角三角形都有 a ＋b ＝c
無論你怎麼調整銳角，這個結論不變。
至於王老師的結論，作個比喻的話，
就像是它用了某種只適於等腰直角三角形的辦法，
2 2 2
得到 a ＋ b ＝ c 然後驚覺結論一樣，
然後他得到了這個直角三角形其實是等腰直角三角形的結論....
國文能力是已經差到看不懂題目說的是「直角三角形」嗎？
所以如果硬要用羅必達的話，
也許要這樣搞：
教授！ 我假設你並沒有出題錯誤！
的確只要f'(0)＝a，無論其它條件如何設定，極限值皆不變！
那麼我要開始作特殊化了！
我假定 f 在 x＝0 附近可微、f' 在 x＝0 處連續，
(然後，以下開始羅必達....)
這樣大概就可以了，不過這也是建立在沒有出題錯誤的前提之下，
不然，你怎麼知道極限值不會隨著那些條件改變呢？
以上全都看不懂也都沒有關係，例子是最有力的：
2
x , x ∈ R\Q
設 f(x)＝{
0 , x ∈ Q
f(x) x , x ∈ R\Q
──＝{
x 0 , x ∈ Q\{0}
f(x)－f(0)
則 f'(0)＝ lim ───── ＝ 0 題目的前提滿足
x→0 x
但是因為 f 明顯在 x ≠ 0 處根本不連續，那也就不可微。
不滿足 f 在 x＝0 附近可微
極限開始了：
f(3x)－f(sin(x))
lim ────────
x→0 x
2 2
9x －sin(x) , x ∈ R\Q
f(3x)－f(sin(x)) ＝｛
0 , x ∈ Q
2
sin(x)
f(3x)－f(sin(x)) 9x－─── , x ∈ R\Q
──────── ＝ { x
x 0 , x ∈ Q\{0}
所以
f(3x)－f(sin(x))
lim ──────── ＝ 0
x→0 x
答案一樣，且不合羅必達使用條件。
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