Re: [問題] 數統問題
※ 引述《awei7486.bbs@ptt.cc (阿偉)》之銘言：
> ※ 引述《iinlovekimo (iinlovekimo)》之銘言：
> : If X is a N(0, 1) random variable, then
> : k
> : E(Φ(hX + k))= Φ(-------------)
> : √(1-h^2)
> : for all real number h, k,
> : where Φ() denotes the cdf of standard normal distribution.
> : 我自己的想法是利用Double Expectation
> : E(E(Φ(hX + k))|X)然後再做個轉換...但試不太出來...
> 令Y=hx+k ,Φ(hX + k)=Φ(Y)~U(0,1)
> k
> : E(Φ(hX + k))=1/2= Φ(-------------)
> : √(1-h^2)
> k
> : 所以 -------------=0 => k=0
> : √(1-h^2)
> 不知道對不對??
當然不對!
要證的是
E[Φ(hX + k)] = Φ[k/√(1+h^2)]
for all real numbers h and k
怎可能推出 "k=0" 的結論?
E[Φ(hX + k)] ≡ 1/2? 根本是觀念不清的答案!
將 E[Φ(hX + k)] 依計算式(積分式)寫出,
並將 Φ 以積分式表示.
注意 Φ(hX + k) 依 h 正負而有不同意義.
當 h>0 時它是 N(-k/h,1/h^2) 的分布函數; h<0 時則反
方向, 取 Φ(hX + k) = 1 - Φ(-hX - k), 而 (-h)>0;
h=0 時, Φ(hX + k) = Φ(k). 三種情形要分別談.
如上, h≠0 時 E[Φ(hX + k)] 寫成雙重積分, 立即可知
它與兩個 normal 隨機變數的差的機率有關. 如 h>0 時,
E[Φ(hX + k)] = P[X>Y] 其中
X～N(0,1), Y～N(-k/n,1/h^2), X 與 Y 獨立
故立即可得 E[Φ(hX + k)] = Φ[k/√(1+h^2)], 當 h>0,
k any real.
附言: 原題右式顯然有錯! h=1 或 -1 代入即知.
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
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