Re: [問題] 關於自然對數 e

看板Physics作者mgtsai時間11年前 (2012/10/18 22:45)推噓5(5推 0噓 3→)

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※ 引述《milkcake (光良的星星)》之銘言： : 大家好 : 一直以來，不論教科書或paper都很直接的在計算式上引入自然對數e : 有稍微查過，不過看到的解答只說因為e是自然界中很常看到的數字 : 我想請問的是是哪邊常看到? : 而且為啥是一個奇怪的數字2.72而不是5.3之類的其他數字 : 本來想po在數學板的可是感覺物裡板會有比較物理的解釋 : 所以上來請教 : 謝謝! 在物理上，只要與 damping，衰變等有關的東西，都與 e 脫離不了關係當某個物理量的變化率，正比於這個物理量本身，e 就會出現在裡頭不過，我在這邊想舉的例子，比較不是物理上的反而是與大家日常生活更相關的一件事：利率敘述過程中，可以發現這樣的過程套在 damping 與衰變等也是一體適用有一個很常見的問題，向銀行借款一萬，年利率 5% 若中間不還款，二十年後，須還銀行多少錢？直接回答，若我們以單利計算，二十年後須還銀行兩萬 (利息等於本金) (實務上沒什麼人使用單利計算) 若以實務上常用的複利來算，二十年後須還銀行 1.05^20 = 26533 如果我們改以月利率來計算整件事，那月利率該訂多少才等於年利率 5%? 一個速算的方式為，將 5% 除以 12 （0.41667%) 當作月利率 (實務上很多人這麼做) 以單利計算剛好等於年利率 5% (一年後本利和為 10500，二十年後本利和為 20000) 但以複利計算，一年後的本利和為 10512，相當於年利率 5.12% 比原本想要的 5%，多了 2.4% ((5.12 - 5) / 5 = 0.024) 雖然將年利率直接除以 12 作為月利率的估算會有點誤差但若利率小時，誤差的百分比也會跟著縮小比如年利率為 1%，除以 12 若以 0.08333% 當作月利率粗估值，則實際的年利率為 1.0046% 與 1% 僅增加 0.46% 回過頭來，若月利率為 0.41667% 計，二十年後該還款多少？若以單利計算，二十年後與年利率 5% 還款金額一樣是 20000 (利息等於本金) 以複利計算，二十年後，本利和為 27126 (嗯，很好) 若把時間單位切得更碎，以日為計息單位，一年以 365 日計若日息以 5%/365 = 0.0137% 計，二十年後該還款多少？若以單利計算，二十年後與年利率 5% 還款金額一樣是 20000 (利息等於本金) 以複利計算，二十年後，本利和為 27181 (嘿，這個數字看起來有點玄機) 更誇張點，以秒計息，每秒利率 5%/365/86400 = 0.00000015855% 二十年後，複利本利和為 27182.818... 沒錯，這個值已經相當接近 10000 x e ---------- 講得更直白一點，若時間單位切得夠碎經過一個時間周期後，複利的本利和，會逼近於本金的 e 倍這裡說的一個時間周期，我們定義為，若每期只還清利息不還本金要耗多久時間，使得前後所還的利息總和等於本金以上述為例，一個時間單位即為二十年經過一個時間單位，複利本利和近似於本金的 e 倍而經過兩個時間單位，複利本利和近似於本金的 e^2 倍若只經過半個時間單位，複利本利和近似於本金的 e^0.5 倍 ---------- 套用到放射性原子衰變，也是類似的方式若某粒子的衰變率為每秒 1ppm (每秒有百萬分之一的機率衰變) 那一周之後，會剩下原本的 e^-0.6048 = 54.62% (0.6048 個時間單位，86400 * 7 / 1000000) ---------- 這個特性，在數學上，就是 e = lim (1 + 1/n)^n n->∞ 所謂的計息時間切得愈碎，所對應的就是 1/n 趨近於零 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.168.51.46 ※ 編輯: mgtsai 來自: 118.168.51.46 (10/18 23:01)

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jimiras

10/18 23:09, , 1^F

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mgtsai

10/18 23:22, , 2^F

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mgtsai

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