Re: [閒聊] 複數空間

看板Physics作者xgcj (xgcj)時間15年前 (2010/11/14 16:28)推噓6(6推 0噓 18→)

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量子力學裡面最重要的核心概念莫過於我們的位置和動量之間的對易關係了 ^ ^ [ x , Px ]=i h_bar 現在我們有兩個可觀察量 x和他的共軛量 Px 他們兩個之間會有個i 為什麼要有i呢? (1)為了使兩個算符都是Hermitian operator (2)不確定性原理 ---------------------------------------------------------------------------- (1) ^ 首先我們知道<Ψ|x|Ψ>是一個可觀察量如果我們現在要建立一個和 ^ x 對易後差個常數的運算子那我們要怎麼建立呢?? ^ * 這裡我們先假定 x = x 然後|Ψ>=Ψ(x) <Ψ|=Ψ(x) ^ ∞ * 內積<Ψ|O|Ψ>=∫Ψ(x)O(x)Ψ(x)dx -∞ ^ ^ 很明顯的我們如果要找到一個Px算符跟不對易不可能直接用 x的多項式去組合出來那我們又很想要一種算符他可以作用在我們的Ψ(x)上面而又和 x 不對易很明顯地只能用微分算符 ^ d 假設Px=c*----- 我們將他和x對易後作用在Ψ(x)上面　　 d x d d (x*c*——— -———*c*x)Ψ(x)=-cΨ(x) d x d x 現在我們知道如果要建立一個對易後不為0的算符我們必須要使用微分算符在量子力學裡我們要求每個可觀察量都必須是Hermitian 那我們就來看看要如何選取我們的常數 d 因為Px=c*—— 而他又必須是要Hermitian 所以令 d x ∞ * d * ｜+∞ ∞ d * <Ψ|Px|Ψ>=∫Ψ(x)－－Ψ(x)dx*c=c*Ψ(x)*Ψ(x)｜ -∫c－－Ψ(x)*Ψ(x)dx -∞ d x ｜-∞ -∞ d x ^^^^^^^^^^^^^^^^^ =0 ∞ * d * ∞ * d * =-∫ (c －－Ψ(x)) *Ψ(x)dx=∫ Ψ(x)(-c －－Ψ(x))dx -∞ d x -∞ d x * * 上式必須要等於 <Ψ|Px|Ψ>也就是-c 要等於c 一個數字等於本身的負共軛那她一定是一個純虛數所以c=i*(某一個實數) 經過這樣的推導我們知道如果要找到一個和x不對易但同時又要滿足 Hermitian性質的算符我們只能選擇一個純虛數*微分算符的這種形式 ---------------------------------------------------------------------------- (2) 首先在我們量子力學裡的空間是一個內基空間所以有科西不等式 * <Ψ|A|A|Ψ><Ψ|B|B|Ψ> >=<Ψ|A|B|Ψ><Ψ|A|B|Ψ> 寫好看一點 * <AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >= <AΨ|BΨ><AΨ|BΨ> =<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ> 我們知道兩個互為共軛的複數相乘一定大於虛部的平方 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2>=b^2 所以<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ> >={(1/(2i))(<AΨ|BΨ>-<BΨ|AΨ>)}^2 AB-BA [A,B] ={|<Ψ|————|Ψ>|}^2={<Ψ|———|Ψ>}^2 2 i 2 i 得到了一個關係 [A,B] <AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >={<Ψ|———|Ψ>}^2 2 i 1 我們可以將他視為<A^2><B^2> >= ——|<[A,B]>|^2 4 統計上所謂的標準差是所有位置和平均位置差的方均根 ΔX=√(<(x-<x>)^2>) (ΔA)^2(ΔB)^2=(<(A-<A>)^2>)(<(B-)^2>) >= (1/4)|<[A-<A>,B-]>|^2 =(1/4)|<[A,B]-[A,]-[<A>,B]+[<A>,]>| <A> 是數字所以全部對易掉 =(1/4)|<[A,B]>|^2 ^ ^ d x=x Px=(h_bar/i)--- [x,Px]=i h_bar d x (ΔX)^2(ΔPx)^2 >=(1/4)|<[x,Px]>|^2=[(h_bar)^2]/4 最後可以得到ΔXΔPx >= (h_bar)/2 這條不確定性原理的不等式在上面的推導中我們發現了 [x,Px]=i h_bar 這條式子中的 i的含意除了要保證我們兩共軛力學量要Hermitian外同時也保證我們的不確定性原理更重要的事他還間接暗示了我們量子力學裡的二項性 ----------------------------------------------------------------------------- 從前面的推導中我們知道如果要有互為共軛的物理量我們一定要引進虛數後面的推導則是跟我們暗示不確定性原理和共軛量對易子之間的關係結論:一定會有虛數 -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.68.211 ※ 編輯: xgcj 來自: 140.113.68.211 (11/14 16:28)

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