Re: [閒聊] 複數空間

看板Physics作者xgcj (xgcj)時間13年前 (2010/11/14 06:06)推噓8(8推 0噓 26→)

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我想只要做適當的修改還是可以讓量子力學裡不要出現i 不過這樣子只會製造更多的困擾例如:薛丁格方程式 ∂ i h_bar ---- Ψ = H Ψ ∂t 這裡面我們只要把所有的complex number 全部改成矩陣然後再將這些矩陣和複數體裡面對應的東西連接上再做點小修改就好了 ---------------------------------------------------------------------------- 以下是對應 z=a+b i <==> Z=[ a b] [-b a] z1=a1+b1 i z2=a2+b2 i [ a1 b1] [ a2 b2] <==> Z1=[ ] Z2=[ ] z1+z2=(a1+b2)+(b1+b2)i [-b1 a1] [-b2 a2] _ [ a b] T [a -b] z=a+bi z=a-bi <==> Z=[ ] Z =[ ] [-b a] [b a] z1=a1+b1 i z2=a2+b2 i [ a1 b1][ a2 b2] z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i <==>Z1*Z2=[ ][ ] [-b1 a1][-b2 a2] [ (a1a2-b1b2) (a1b2+b1a2)] =[ ] [-(a1b2+b1a2) (a1a2-b1b2)] - T [a^2+b^2 0 ] z*z=a^2+b^2 <==>Z*Z =[ ] [ 0 a^2+b^2] z=a+bi=Rexp(iθ) [ a b] [ 0 1] R=√(a^2+b^2)θ=arctan(b/a)+π <==> Z=[ ]=R*exp([ ]*θ) {0=<θ<2π,0=<R} [-b a] [-1 0] 很明顯地複數體做得到的事我用實矩陣也可以做得到 ------------------------------------------------------------------------------ 於是我們可以修改我們的薛丁格方程式 [ 0 1][Ψ1 Ψ2] [Ψ1 Ψ2] h_bar[ ][ ]=H [ ] [-1 0][-Ψ2 Ψ1] [-Ψ2 Ψ1] + [Ψ1 Ψ2] T [Ψ1 -Ψ2] 我們的Ψ 和Ψ 現在就改成 Ψ=[ ] Ψ =[ ] [-Ψ2 Ψ1] [Ψ2 Ψ1] 於是你完全可以用實矩陣來代替 ----------------------------------------------------------------------------- 現在就來修改量子力學裡的幾個公設(from wiki) 以下是Dirac所做的公設 1. 一個物理系統於時間點 t 的狀態可以由希爾伯特空間中的一個歸一化向量 |Ψ(t)>來定義。這裡的希爾伯特空間指的是定義了內積的平方可積的線性向量空間。 ^ 2. 每個可觀測量 A 可以通過狀態空間中的一個厄米算符 A 來表示，可觀測量 A 在狀態 |Ψ(t)>的期望值（即測量結果的平均值 ^ ）為 <Ψ(t)| A |Ψ(t)>。進一步的，對應於可觀測量的厄米算符的所有本徵態構成希爾伯特空間中的正交歸一的完備函數系。任意一個態向量都可以由該算符的本徵態展開。如果系統處於算符的本徵態上，對應的可觀測量具有唯一確定的測量值，即該本徵態對應的本徵值。對於任意的態，觀測量的測量值是各本徵值的帶權平均。量子力學中的測量是不可逆的，測量後系統處於該測量值的一個特徵向量上。 3. 位置算符和動量算符之間滿足正則對易關係。由此對易關係可以確定動量算符的表達式，而所有的其他算符都可以由位置算符和動量算符表出。由算符的對易式可 ^ ^ 導出不確定性原理：兩個可觀察量 A 和 B 之間的不確定性為 ^ ^ |< [ A , B ] >| ΔAΔB>=|-------------| | 2i | 4. 狀態向量 |Ψ(t)>的動力學演化由薛丁格方程式表示： ∂ ^ i h_bar ----|Ψ(x,t)>=H(x,t)|Ψ(x,t)> ∂t ^ ，在這裡哈密頓算符=H(x,t)通常對應於系統的總能量。 ------------------------------------------------------------------------------ 1. 一個物理系統於時間點 t 的狀態可以由希爾伯特空間中的一個歸一 |[ Ψ1(t) Ψ2(t)] 化矩陣向量 |Ψ(t)>=|[ ]>來定義。 |[-Ψ2(t) Ψ1(t)] 這裡的希爾伯特空間指的是定義了內積的平方可積的線性向量空間。 [ Ψ1(t) Ψ2(t)]|[ Ψ1(t) -Ψ2(t)] (這裡的內積應該要被想像成<Ψ(t)|Ψ(t)>=<[ ]|[ ]> [-Ψ2(t) Ψ1(t)]|[ Ψ2(t) Ψ1(t)] ^ 2. 每個可觀測量 A 可以通過狀態空間中的一個厄米算符 A 來表示，可觀測量 A 在狀態 |Ψ(t)>的期望值（即測量結果的平均值 ^ ）為 <Ψ(t)| A |Ψ(t)>。進一步的，對應於可觀測量的厄米算符的所有本徵態構成希爾伯特空間中的正交歸一的完備函數系。任意一個態向量都可以由該算符的本徵態展開。如果系統處於算符的本徵態上，對應的可觀測量具有唯一確定的測量值，即該本徵態對應的本徵值。對於任意的態，觀測量的測量值是各本徵值的帶權平均。量子力學中的測量是不可逆的，測量後系統處於該測量值的一個特徵向量上。 3. 位置算符和動量算符之間滿足正則對易關係。由此對易關係可以確定動量算符的表達式，而所有的其他算符都可以由位置算符和動量算符表出。由算符的對易式可 ^ ^ 導出不確定性原理：兩個可觀察量 A 和 B 之間的不確定性為 ^ ^ |< [ A , B ] > [0 -1]| ΔAΔB>=|------------- [ ]| | 2 [1 0]| 4. 狀態向量 |Ψ(t)>的動力學演化由薛丁格方程式表示： [0 1] ∂ ^ h_bar[ ] ----|Ψ(x,t)>=H(x,t)|Ψ(x,t)> [-1 0] ∂t ^ ，在這裡哈密頓算符=H(x,t)通常對應於系統的總能量。 ----------------------------------------------------------------------------- 所以我們只要將所有的 C 數體的部分通通換成剛剛寫的矩陣就行了但是現在問題來了考慮我們考慮Dirac equation一類的方程式 μ (iγ ∂ - m )Ψ(x,t)=0 μ 這裡面不只有i還有一堆矩陣... 就連我們電子的波函數也有4個分量連我們的矩陣裡也有i 但沒關係! 我們還是可以修改的原式=> μ (iγ ∂ - m )Ψ(x,t)=0 μ 0 [0 I2] i [ I2 σi] γ =[ ] γ =[ ] 注意!這裡的σ矩陣裡面也有i! [I2 0] [-σi I2 ] [0 0 1 0] [0 0 0 1] [0 0 0 -i] [ 0 0 1 0] 0 [0 0 0 1] 1 [0 0 1 0] 2 [0 0 i 0] 3 [ 0 0 0-1] γ =[1 0 0 0] γ=[0 -1 0 0] γ =[0-i 0 0] γ=[-1 0 0 0] [0 1 0 0] [-1 0 0 0] [i 0 0 0] [ 0 1 0 0] [ 0 1] 所以我們也要將γ矩陣裡的i全部換成[ ] [-1 0] 0 1 γ = γ = [[0 0] [0 0] [1 0] [0 0]][[0 0] [0 0] [0 0] [1 0]][[0 0] [0 0] [0 0] [0-1]] [[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]][[0 0] [0 0] [0 0] [0 1]][[0 0] [0 0] [0 0] [1 0]] [ ][ ][ ] [[0 0] [0 0] [0 0] [1 0]][[0 0] [0 0] [1 0] [0 0]][[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]] [[0 0] [0 0] [0 0] [0 1]][[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]][[0 0] [0 0] [-10] [0 0]] [ ][ ][ ] [[1 0] [0 0] [0 0] [0 0]][[0 0] [-10] [0 0] [0 0]][[0 0] [0-1] [0 0] [0 0]] [[0 1] [0 0] [0 0] [0 0]][[0 0] [0-1] [0 0] [0 0]][[0 0] [1 0] [0 0] [0 0]] [ ][ ][ ] [[0 0] [1 0] [0 0] [0 0]][[-10] [0 0] [0 0] [0 0]][[0 1] [0 0] [0 0] [0 0]] [[0 0] [0 1] [0 0] [0 0]][[0-1] [0 0] [0 0] [0 0]][[-10] [0 0] [0 0] [0 0]] [[0 0] [0 0] [1 0] [0 0]] [[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]] [ ] [[0 0] [0 0] [0 0] [-10]] [[0 0] [0 0] [0 0] [0-1]] 3 [ ]=γ [[1 0] [0 0] [0 0] [0 0]] [[0 1] [0 0] [0 0] [0 0]] [ ] [[0 0] [-10] [0 0] [0 0]] [[0 0] [0-1] [0 0] [0 0]] 打到這裡我就不想在打下去了可見要完全不用到複數來建構一個的確是可以的但是我們用複數可以省去相當多不必要的麻煩... -- ◆ From: 220.131.45.75

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