Re: [問題] Arfken物數
※ 引述《takashin (lose yourself)》之銘言：
: ※ 引述《lancheongjay.bbs@bbs.badcow.com.tw (風雨兼程)》之銘言：
: : 翻譯一下:
: : 通常我們限制在正交座標，也就是說 gij=0 ，ｉ不等於ｊ
: : 從最基本的內積定義著手，
: : 如果你一開始選擇的是正交座標，垂直的兩個基底，
: : 夾角餘弦一定是零，最後只會留下 i = j 的項 。
: 補充一下
: 這邊gij=(位置向量r對qi偏微分)內積(位置向量r對qj偏微分)
: 我想我要弄清楚的大概是這兩個向量的物理意義 , 我想了一下 解釋如下
: 這向量r在qi方向的微小改變向量 與其在qj方向微小改變向量之內積為0 for i!=j
: 若q為我們熟悉的卡氏座標 , 這句話我沒問題 就是你所說的那樣
: 若今天是非卡氏座標q
: 若q正交 , 這兩個向量內積為零 for i!=j
: 直接用直觀想像把在卡氏座標成立的(向量r在qi方向的微小改變向量 與另一個
: 垂直方向qj的微小改變向量內積為零) 在非卡氏座標也成立
: 我比較想看能不能夠有比較數學上的證明
gij就只是兩個基向量的內積.....
跟是不是微小向量無關.....(只是本書裡用微小向量來說明)
: : 這裡用到的概念幾乎都是高中的向量即可，
: : 因為它就是單純的討論歐氏空間，不必想得太複雜。
: : 如果你採用的是斜角座標，就不會有這種特性，
: : 但是直角座標（以及其他正交座標），顯然形式上簡單多了。
: 我轉述一下他的hint:
: {
: 考慮一個三邊長為ds1, ds2 , ds3的三角形
: 式子(2.9)在不管gij=0 與否都成立
: 利用law of cosines計算 然後比較式子(2.5)的ds .
: 證明 cos(theta12)=g12/根號(g11*g22)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^題目要你證明這條
: }
: 式子(2.9)是 dsi=hi*dqi 向量r對qi偏微分=hi*(qi單位向量)
^^^^^^^^^^當你用了這條....那你就是採用正交座標了....所以不能用
: 式子(2.5)是 ds^2=summation(gij*dqi*dqj) over i,j
: PS.hi^2=gii
^^^^^^^^^一樣不能用
這裡的證明,你只需要(2.5)和餘弦定律就夠了...(比較一下就能得出)
這題就是show給你看當向量ds1,ds2垂直時,g12是零
已就是說正交向量會使得度規張量的非對角線分量消失
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