Re: [問題] Arfken物數
※ 引述《lancheongjay.bbs@bbs.badcow.com.tw (風雨兼程)》之銘言：
: ※ 引述《takashin.bbs@ptt.cc (lose yourself)》之銘言：
: : 第二章一開始講的座標轉換 有個地方我看了兩遍還是不懂他想表達的是什麼
: : 式子(2.7)上面的句子 : At usual we limit ourself to orthogonal coordinates
: : which means gij=0 , i!=j (Exercise2.1.1)
: 翻譯一下:
: 通常我們限制在正交座標，也就是說 gij=0 ，ｉ不等於ｊ
: : 於是我就去看習題2.1.1 心裡想著大概是要我們證明gij=0 , i!=j
: : 恩 沒錯 , 他是要我們證明當我們把焦點放在orthogonal coordinates時
: : 會implies gij=0 , i!=j
: 從最基本的內積定義著手，
: 如果你一開始選擇的是正交座標，垂直的兩個基底，
: 夾角餘弦一定是零，最後只會留下 i = j 的項 。
補充一下
這邊gij=(位置向量r對qi偏微分)內積(位置向量r對qj偏微分)
我想我要弄清楚的大概是這兩個向量的物理意義 , 我想了一下 解釋如下
這向量r在qi方向的微小改變向量 與其在qj方向微小改變向量之內積為0 for i!=j
若q為我們熟悉的卡氏座標 , 這句話我沒問題 就是你所說的那樣
若今天是非卡氏座標q
若q正交 , 這兩個向量內積為零 for i!=j
直接用直觀想像把在卡氏座標成立的(向量r在qi方向的微小改變向量 與另一個
垂直方向qj的微小改變向量內積為零) 在非卡氏座標也成立
我比較想看能不能夠有比較數學上的證明
: : 但是看了習題後我更困惑 , 他的hint為什麼要我們那樣做 也無法體會
: : 想要直接證明我就從他最先說的orthogonal定義開始
: : 他說只要有dqi*dqj!=0 for i!=j
: : 我就得到式子(2.8) 結果當然是證不出來
: : 請問高手們 如何解決這問題呢?
: : 我越看只有越不知道他在討論什麼了 以及目的是什麼了
: 這裡用到的概念幾乎都是高中的向量即可，
: 因為它就是單純的討論歐氏空間，不必想得太複雜。
: 如果你採用的是斜角座標，就不會有這種特性，
: 但是直角座標（以及其他正交座標），顯然形式上簡單多了。
我轉述一下他的hint:
{
考慮一個三邊長為ds1, ds2 , ds3的三角形
式子(2.9)在不管gij=0 與否都成立
利用law of cosines計算 然後比較式子(2.5)的ds .
證明 cos(theta12)=g12/根號(g11*g22)
}
式子(2.9)是 dsi=hi*dqi 向量r對qi偏微分=hi*(qi單位向量)
式子(2.5)是 ds^2=summation(gij*dqi*dqj) over i,j
PS.hi^2=gii
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